Grundlagen zur Nichtlineare Regression

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Was ist Nichtlineare Regression?
Vergleich der nichtlinearen und der linearen Regression

Was ist Nichtlineare Regression?

Bei der nichtlinearen Regression wird eine Gleichung generiert, mit der die nichtlineare Beziehung zwischen einer stetigen Antwortvariablen und einer bzw. mehreren Prädiktorvariablen beschrieben und neue Beobachtungen prognostiziert werden. Verwenden Sie die nichtlineare Regression anstelle der normalen Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate, wenn die Beziehung mit linearen Parametern nicht angemessen modelliert werden kann. Die Parameter sind linear, wenn die Terme im Modell addiert werden und jeder Term nur einen Parameter enthält, mit dem der Term multipliziert wird.

Vergleich der nichtlinearen und der linearen Regression

Eine wichtige Grundlage der nichtlinearen Regression bildet das Verständnis der Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der nichtlinearen und der linearen Regression.

Gemeinsamkeiten

Beide Analysen:

beschreiben mathematisch die Beziehung zwischen einer Antwortvariablen und einem oder mehreren Prädiktoren.
können eine gekrümmte Beziehung modellieren.
minimieren die Summe der Quadrate der Residuenfehler (SSE).
basieren auf denselben Annahmen, die Sie mit Residuendiagrammen überprüfen können.

Differenzen

Der grundlegende Unterschied zwischen der linearen und der nichtlinearen Regression sind die akzeptablen Formen der Modellfunktionen. Daraus leiten sich auch die Namen der Analysen ab. Für die lineare Regression sind lineare Parameter erforderlich, für die nichtlineare Regression nicht. Verwenden Sie die nichtlineare Regression anstelle der linearen Regression, wenn die Beziehung mit linearen Parametern nicht angemessen modelliert werden kann.

Bei einer linearen Regressionsfunktion müssen die Parameter linear sein, wodurch die Gleichung auf eine Grundform beschränkt wird. Die Parameter sind linear, wenn die Terme im Modell addiert werden und jeder Term nur einen Parameter enthält, mit dem der Term multipliziert wird:

Antwortvariable = Konstante + Parameter * Prädiktor + ... + Parameter * Prädiktor

oder y = β_o + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + β_kx_k

Eine nichtlineare Gleichung kann jedoch viele verschiedene Formen annehmen. Da es eine unendliche Anzahl von Möglichkeiten gibt, müssen Sie die Modellfunktion angeben, mit der Minitab die nichtlineare Regression durchführen soll. Die folgenden Beispiele veranschaulichen die vielfältigen Möglichkeiten (der Buchstabe θ stellt jeweils die Parameter dar):

y = θ^x (Konvex 2, 1 Parameter, 1 Prädiktor)
y = θ₁ * x₁ / ( θ₂ + x₁ ) (Michaelis-Menten-Gleichung, 2 Parameter, 1 Prädiktor)
y = θ₁ - θ₂ * ( ln ( x₁ + θ₃ ) - ln ( x₂ )) (Nernst-Gleichung, 3 Parameter, 2 Prädiktoren)

Welche Modellfunktion Sie auswählen, hängt häufig von bereits vorhandenen Kenntnissen über die Kurvenform der Antwortvariablen oder dem Verhalten physikalischer und chemischer Eigenschaften im System ab. Zu den möglichen nichtlinearen Formen gehören konkave, konvexe, sigmoidale (S) und asymptotische Kurven sowie Kurven für exponentielles Wachstum oder exponentielle Rückgänge. Sie müssen die Funktion angeben, die sowohl den Anforderungen Ihrer bereits vorhandenen Kenntnisse als auch den Annahmen der nichtlinearen Regression entspricht.

Die Flexibilität, die unterschiedlichsten Modellfunktionen angeben zu können, bedeutet eine enorme Leistungsfähigkeit. Es kann jedoch einen erheblichen Aufwand erfordern, die Funktion zu ermitteln, die zu einer optimalen Anpassung der Daten führt. Dazu sind häufig zusätzliche Recherche, Fachkenntnisse und mehrere Versuche erforderlich. Bei nichtlinearen Gleichungen ist es zudem häufig weniger intuitiv als bei linearen Gleichungen, die Effekte der einzelnen Prädiktoren auf die Antwort zu bestimmen.

Bei der nichtlinearen Regression wird zum Minimieren der Summe der Quadrate der Residuenfehler (SSE) ein anderes Verfahren als bei der linearen Regression verwendet.