Methoden für Stabilitätsuntersuchung für zufällige Chargen

Die allgemeine Form des gemischten Modells

Modelle mit gemischten Effekten enthalten sowohl feste als auch Zufallseffekte. Die allgemeine Form des gemischten Modells lautet:

y = Xβ + Z₁μ₁ + Z₂μ₂ + ... + Z_cμ_c + ε

Notation

Besondere Formen des gemischten Modells

Bei Stabilitätsuntersuchungen werden zwei Modelle mit Charge als Zufallsfaktor angepasst. Das größte Modell enthält Zeit, den Zufallsfaktor Charge und die zufällige Wechselwirkung zwischen Zeit und Charge.

y = Xβ + Z₁μ₁ + Z₂μ₂ + ε

Das kleinere Modell enthält Zeit und den Zufallsfaktor Charge.

y = Xβ + Z₁μ₁ + ε

Die allgemeine Varianz-Kovarianz-Matrix des Vektors der Antwortvariablen y lautet:

V(σ²) = V(σ², σ²₁, ... , σ²_c) = σ²I_n + σ²₁Z₁Z'₁ + ... + σ²_cZ_cZ'_c

Dabei gilt Folgendes:

σ² = (σ², σ²₁, ... , σ²_c)'

σ², σ²₁, ... , σ²_c werden als Varianzkomponenten bezeichnet.

Durch Faktorisieren ausgehend von der Varianz kann eine Darstellung von H(θ) gefunden werden, was sich in der Berechnung der Log-Likelihood von gemischten Modellen befindet.

V(σ²) = σ²H(θ) = σ²[I_n + θ₁Z₁Z'₁ + ... + θ_cZ_cZ'_c]

Wenn Charge ein Zufallsfaktor ist, ergeben sich die Schätzwerte des unbekannten Parameters aus der Minimierung des zweifachen negativen Werts der beschränkten Log-Likelihood-Funktion. Die Minimierung entspricht der Maximierung der beschränkten Log-Likelihood-Funktion. Die Funktion zur Minimierung lautet:

Notation

Bei der Box-Cox-Transformation werden Lambda-Werte (siehe unten) ausgewählt, die die Summe der Quadrate der Residuen minimieren. Die resultierende Transformation ist Y ^λ, wenn λ ≠ 0, und ln(Y), wenn λ = 0. Wenn λ < 0, multipliziert Minitab zudem die transformierte Antwortvariable mit −1, um die Reihenfolge aus der nicht transformierten Antwortvariablen beizubehalten.

Minitab sucht einen optimalen Wert zwischen −2 und 2. Werte, die außerhalb dieses Intervalls liegen, führen möglicherweise nicht zu einer besseren Anpassung.

Hier finden Sie einige der gängigsten Transformationen, wobei Y′ das transformierte Y der Daten darstellt:

Lambda-Wert (λ)	Transformation
λ = 2	Y′ = Y 2
λ = 0,5	Y′ =
λ = 0	Y′ = ln(Y )
λ = −0,5
λ = −1	Y′ = −1 / Y

Wenn die Wechselwirkung Charge*Zeit signifikant ist, wird in der Analyse das erste Modell angepasst. Wenn die Wechselwirkung nicht signifikant ist, aber der Chargenterm im zweiten Modell signifikant ist, wird in der Analyse das zweite Modell angepasst. Anderenfalls wird in der Analyse das dritte Modell angepasst.

Der Test darauf, ob Chargen zusammengefasst werden sollten, unterscheidet sich leicht vom Test darauf, ob die Charge als Faktor eingebunden werden soll, obwohl beide auf der Chi-Quadrat-Verteilung beruhen. Die Formeln für die Teststatistiken und p-Werte lauten wie folgt.

Test zwischen Modell 1 und Modell 2

Differenz = −2L₂ − (−2L₁)

p = 0,5 * Wahrsch(χ²₁ > Differenz) + 0,5 * Wahrsch(χ²₂ > Differenz)

Test zwischen Modell 2 und Modell 3

Differenz = −2L₃ − (−2L₂)

p = 0,5 * Wahrsch(χ²₁ > Differenz)

Notation

Literaturhinweise

1. Searle, S. R., Casella, G. und McCuloch, C. E. (1992). Variance Components
2. West, B. T., Welch, K. B. und Galecki, A. T. (2007). Linear Mixed Models: A Practical Guide Using Statistical Software.
3. Chow, S. (2007). Statistical Design and Analysis of Stability Studies.