Methoden und Formeln für die x- und y-Statistiken in Regression der partiellen kleinsten Quadrate

Bei den x-Werten handelt es sich um lineare Kombinationen der Terme; sie ähneln den Werten der Hauptkomponenten. Die x-Werte bilden eine n × m-Matrix nicht korrelierender Spalten. Die x-Werte stellen Projektionen der Beobachtungen auf die PLS-Komponenten dar. PLS passt die x-Werte an, die die ursprünglichen Terme in den Daten ersetzen, wobei die Schätzung kleinster Quadrate verwendet wird.

Formel

Notation

Die x-Ladungen sind die linearen Koeffizienten, die die Terme mit den x-Werten verknüpfen, ähnlich den Eigenvektoren in der Hauptkomponentenanalyse. Die Werte der Ladungen geben die Relevanz des entsprechenden Terms für die m-te Komponente an. Die x-Ladungen bilden eine p × m-Matrix.

Formel

Notation

Die x-Gewichtungen beschreiben die Kovarianz zwischen den Termen und den Antwortvariablen. Im Algorithmus wird mit Hilfe der Gewichtungen sichergestellt, dass die x-Werte orthogonal sind (in keiner Beziehung zueinander stehen), und sie werden zum Berechnen der x-Werte verwendet. Die x-Gewichtungen bilden eine (p × m)-Matrix.

Formel

Minitab skaliert die Vektoren der Gewichtungen, so dass die Länge des Vektors 1 beträgt.

Notation

Die x-Residuen enthalten die Streuung in den Prädiktoren, die vom PLS-Modell nicht erklärt wird. Beobachtungen mit relativ großen x-Residuen sind Ausreißer im x-Raum und werden vom Modell nicht gut erklärt.

Die x-Residuen sind die Differenzen zwischen den tatsächlichen Prädiktorwerten und den x-berechneten Werten, und sie befinden sich auf derselben Skala wie die ursprünglichen Prädiktoren. Die Matrix der x-Residuen ist, ähnlich wie die ursprüngliche x-Matrix, eine (n × p)-Matrix.

Die Matrix der x-Residuen wird anfänglich auf die Matrix der standardisierten x-Werte festgelegt. Nach der Berechnung der m-ten Komponente sowie der Vektoren der x-Werte und der x-Ladungen berechnet Minitab die x-Residuen.

Formel

Anschließend berechnet Minitab die nicht standardisierten x-Residuen, indem die standardisierten x-Residuen mit der Standardabweichung der Prädiktorwerte multipliziert werden.

Notation

Bei den x-berechneten Werten handelt es sich um lineare Kombinationen der x-Werte; sie enthalten die Streuung in den Prädiktoren, die vom PLS-Modell erklärt wird. Beobachtungen mit relativ kleinen x-berechneten Werten sind Ausreißer im x-Raum und werden vom Modell nicht gut erklärt.

Die Matrix der x-berechneten Werte, die der ursprünglichen x-Matrix ähnelt, ist eine (n × p)-Matrix, wobei n die Anzahl der Beobachtungen und p die Anzahl der Prädiktoren darstellt. Die x-berechneten Werte befinden sich auf derselben Skala wie die Prädiktoren.

Die Matrix der x-berechneten Werte wird anfänglich auf die Nullmatrix festgelegt. Nach der Berechnung der m-ten Komponente sowie der Vektoren der x-Werte und der x-Ladungen berechnet Minitab die x-berechneten Werte. Wenn die Anzahl der Komponenten gleich der Anzahl der Prädiktoren ist, ist der x-berechnete Wert gleich dem ursprünglichen Wert.

Formel

Anschließend berechnet Minitab die nicht standardisierten x-berechneten Werte, indem die standardisierten x-berechneten Werte mit der Standardabweichung der Prädiktorwerte multipliziert werden und der Mittelwert addiert wird.

Notation

Die y-Werte sind lineare Kombinationen der Antwortvariablen. Die y-Werte bilden eine n × m-Matrix. Die y-Werte stellen Projektionen der Beobachtungen auf die PLS-Komponenten dar.

Formel

Notation

Die y-Ladungen sind die linearen Koeffizienten, die die Antwortvariablen mit den y-Werten verknüpfen. Die Werte der Ladungen geben die Relevanz der entsprechenden Antwortvariablen für die m-te Komponente an. Die y-Ladungen bilden eine r × m-Matrix.

Formel

Notation

Die y-Residuen enthalten die verbleibende Streuung in den Antwortvariablen, die vom PLS-Modell nicht erklärt wird. Beobachtungen mit relativ großen y-Residuen sind Ausreißer im y-Raum und werden nicht gut erklärt.

Die y-Residuen sind die Differenzen zwischen den tatsächlichen Werten der Antwortvariablen und den y-berechneten Werten, und sie befinden sich auf derselben Skala wie die ursprünglichen Werte der Antwortvariablen. Die Matrix der y-Residuen ist, ähnlich wie die ursprüngliche y-Matrix, eine (n × r)-Matrix.

Die Matrix der y-Residuen wird anfänglich auf die Matrix der standardisierten y-Werte festgelegt. Nachdem Minitab die m-te Komponente sowie die Vektoren der x-Werte und der y-Ladungen berechnet hat, ermittelt Minitab die standardisierten y-Residuen.

Formel

Anschließend berechnet Minitab die nicht standardisierten y-Residuen, indem die standardisierten y-Residuen mit der Standardabweichung der entsprechenden Werte der Antwortvariablen multipliziert werden.

Notation

Bei den y-berechneten Werten handelt es sich um lineare Kombinationen der x-Werte; sie enthalten die Streuung in den Antwortvariablen, die vom PLS-Modell erklärt wird. Beobachtungen mit relativ kleinen y-berechneten Werten sind Ausreißer im y-Raum und werden nicht gut erklärt.

Die Matrix der y-berechneten Werte ist, ähnlich wie die ursprüngliche y-Matrix, eine (n x r)-Matrix. Die Matrix der y-berechneten Werte wird anfänglich auf eine Nullmatrix festgelegt. Nachdem Minitab die m-te Komponente sowie die Vektoren der x-Werte und der y-Ladungen berechnet hat, ermittelt Minitab die standardisierten y-berechneten Werte.

Formel

Anschließend berechnet Minitab die nicht standardisierten y-berechneten Werte, indem die standardisierten y-berechneten Werte mit der Standardabweichung der entsprechenden Werte der Antwortvariablen multipliziert werden und der Mittelwert addiert wird.

Notation