Methoden und Formeln für die Parameterschätzwerte in Nichtlineare Regression

Durch Transformieren der Parameter wird sichergestellt, dass die Nebenbedingungen für die Parameter eingehalten werden.¹

Wenn	Dann ist
a < θ	θ = a + exp( φ )
θ < b	θ = b – exp( φ )
a < θ < b	θ = a +((b – a) / (1 + exp( –φ )))

Begriff	Beschreibung
a und b	numerische Konstanten
θ	Parameter
φ	transformierte Parameter

Minitab führt diese Transformationen durch und zeigt die Ergebnisse in Bezug auf die ursprünglichen Parameter an.

1. Bates und Watts (1988). Nonlinear Regression Analysis and Its Applications. John Wiley & Sons, Inc.

Der ungefähre Standardfehler des Schätzwerts von θ_p ist das S-fache der Quadratwurzel des Diagonalelements p von , was ausgedrückt wird als:

Hierbei ist e_p ein (P mal 1)-Vektor mit dem Element p gleich 1 und allen anderen Elementen gleich 0. Minitab berechnet Folgendes:

durch Rückwärtslösen von:

Notation

Begriff	Beschreibung
n	n-te Beobachtung
N	Gesamtzahl der Beobachtungen
p	Anzahl der freien (entsperrten) Parameter
R	die (obere dreieckige) R-Matrix aus der QR-Zerlegung von Vi für die letzte Iteration
V0	Gradientenmatrix = ( ∂f(xn, θ) / ∂θp), der (P mal 1)-Vektor partieller Ableitungen von f(x0, θ), ausgewertet bei θ*
S

Die ungefähre Varianz-Kovarianz-Matrix für die Parameterschätzwerte lautet:

Die ungefähre Korrelation zwischen den Schätzwerten von θ_p und θ_q lautet:

Da R dreieckig ist, kann Minitab dessen Umkehrung durch Rückwärtslösen erhalten, statt einen allgemeinen Umkehralgorithmus zu verwenden.

Notation

Begriff	Beschreibung
R	die (obere dreieckige) R-Matrix aus der QR-Zerlegung von Vi für die letzte Iteration
P	Anzahl der freien (entsperrten) Parameter
v0	Gradientenmatrix = ( ∂f(xn, θ) / ∂θ p), der (P mal 1)-Vektor partieller Ableitungen von f( x0, θ), ausgewertet bei θ*
θ's	Parameter

Sei θ = (θ₁, . . . . θ_p) *, wobei θ* die letzte Iteration für θ ist.

Die Likelihood-basierten 100(1–α)%-Konfidenzgrenzen erfüllen:

Hierbei ist S( θ_p ) die SSE ist, die erhalten wird, wenn θ_p fest bleibt und über die anderen Parameter minimiert wird.¹ Dies entspricht dem Lösen der folgenden Gleichung:

S(θ_p) = S(θ*) + (t_α/2)² MSE

Notation

Begriff	Beschreibung
θ's	Parameter
n	n-te Beobachtung
N	Gesamtzahl der Beobachtungen
P	Anzahl der freien (entsperrten) Parameter
tα/2	oberer α/2-Punkt der t-Verteilung mit N – P Freiheitsgraden
S(θ)	Summe der quadrierten Fehler
MSE	mittlerer quadrierter Fehler