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Exponentialfamilie und Linkfunktionen
Die Erweiterung der klassischen linearen Modelle auf verallgemeinerte lineare Modelle umfasst zwei Teile: eine Verteilung aus der Exponentialfamilie und eine Linkfunktion.
Exponentialfamilie
Der erste Teil erweitert das lineare Modell auf Antwortvariablen, die zu einer großen Familie von Verteilungen gehören, die als Exponentialfamilie bezeichnet werden. Mitglieder der Exponentialfamilie von Verteilungen weisen Dichtefunktionen für einen beobachteten Wert der Antwortvariablen in dieser allgemeinen Form auf:
Hierbei gilt: a(∙), b(∙) und c(∙) hängen von der Verteilung der Antwortvariablen ab. Der Parameter θ ist ein Lageparameter, der oft als kanonischer Parameter bezeichnet wird, und ϕ wird als Streuungsparameter bezeichnet. Die Funktion a(ϕ) hat meistens die Form a(ϕ) = ϕ/ ω, wobei ω eine bekannte Konstante oder Gewichtung ist, die zwischen den Beobachtungen variieren kann. (Wenn in Minitab Gewichtungen angegeben werden, wird die Funktion a(ϕ) entsprechend korrigiert.)
Bei Mitgliedern der Exponentialfamilie kann es sich um diskrete Verteilungen oder stetige Verteilungen handeln. Beispiele für stetige Verteilungen, die zur Exponentialfamilie gehören, sind die Normalverteilung und die Gamma-Verteilung. Zu den diskreten Verteilungen, die zur Exponentialfamilie gehören, zählen zum Beispiel die Binomialverteilung und die Poisson-Verteilung. In der folgenden Tabelle werden die Merkmale einiger dieser Verteilungen aufgeführt.
| Verteilung | ϕ | b(θ) | a(φ) | c(y, ϕ) |
| Normal | σ2 | θ2/2 | φω |  |
| Binomial | 1 |  |
φ/ω | -ln(y!) |
| Poisson | 1 | exp(θ) | φ/ω |  |
Linkfunktion
Der zweite Teil ist die Linkfunktion. Die Linkfunktion setzt den Mittelwert der Antwortvariablen in der i-ten Beobachtung in folgender Form zu einem linearen Prädiktor in Beziehung:
Das klassische lineare Modell ist ein Sonderfall dieser allgemeinen Formel, wobei die Linkfunktion die Identitätsfunktion ist.
Die Auswahl der Linkfunktion im zweiten Teil hängt von der spezifischen Verteilung der Exponentialfamilie im ersten Teil ab. Jede Verteilung in der Exponentialfamilie weist eine bestimmte Linkfunktion auf, die als kanonische Linkfunktion bezeichnet wird. Diese Linkfunktion erfüllt die Gleichung g (μi) = Xi'β = θ, wobei θ der kanonische Parameter ist. Die kanonische Linkfunktion ergibt einige erwünschte statistische Eigenschaften des Modells. Mit Hilfe der Statistiken für die Güte der Anpassung können Sie die Anpassungen mit den verschiedenen Linkfunktionen vergleichen. Bestimmte Linkfunktionen können aus historischen Gründen verwendet werden, oder weil sie eine bestimmte Bedeutung in einer Disziplin haben. Beispielsweise besteht ein Vorteil der Logit-Linkfunktion darin, dass sie einen Schätzwert für das Chancenverhältnis liefert. Ein weiteres Beispiel ist die Normit-Linkfunktion: Bei dieser wird angenommen, dass eine zugrunde liegende Variable vorhanden ist, die einer Normalverteilung folgt und in binäre Kategorien unterteilt ist.
Minitab bietet drei Linkfunktionen für jede Klasse von Modellen. Mit Hilfe der verschiedenen Linkfunktionen können Sie Modelle bestimmen, die bei unterschiedlich ausgeprägten Daten eine adäquate Anpassung bieten.
Bei Binomialmodellen lauten die Linkfunktionen: Logit, Normit (auch als Probit bezeichnet) und Gompit (auch als komplementärer Log-Log bezeichnet). Hierbei handelt es sich um die Umkehrung der regulären kumulativen logistischen Verteilungsfunktion (Logit), die Umkehrung der regulären kumulativen Normalverteilungsfunktion (Normit) und die Umkehrung der Gompertz-Verteilungsfunktion (Gompit). Die Logit-Linkfunktion ist die kanonische Linkfunktion für Binomialmodelle, und somit ist Logit die standardmäßig vorgegebene Linkfunktion.
Bei Poisson-Modellen lauten die Linkfunktionen: natürlicher Logarithmus, Quadratwurzel und Identität. Der natürliche Logarithmus ist die kanonische Linkfunktion für Poisson-Modelle und somit die standardmäßig vorgegebene Linkfunktion.
Die Linkfunktionen werden im Folgenden zusammengefasst:
| Modell | Name | Linkfunktion, g(μi) |
| Binomial | Logit |  |
| Binomial | Normit (Probit) |  |
| Binomial | Gompit (komplementärer Log-Log) |  |
| Poisson | natürlicher Logarithmus |  |
| Poisson | Quadratwurzel |  |
| Poisson | Identität |  |
Notation
| Begriff | Beschreibung |
|---|---|
| μi | Mittelwert der Antwortvariablen in der i-ten Zeile |
| g(μi) | Linkfunktion |
| X | Vektor der Prädiktorvariablen |
| β | Vektor der Koeffizienten, die den Prädiktoren zugeordnet sind |
 | inverse kumulative Verteilungsfunktion der Normalverteilung |
Faktoren-/Kovariatenmuster
Beschreibt einen einzelnen Satz von Faktoren-/Kovariatenwerten in einem Datensatz. Minitab berechnet für jedes Faktoren-/Kovariatenmuster Ereigniswahrscheinlichkeiten, Residuen und weitere Bewertungsmaße.
Wenn ein Datensatz beispielsweise die Faktoren Geschlecht und Ethnie sowie die Kovariate Alter enthält, können die Kombinationen dieser Prädiktoren so viele verschiedene Kovariatenmuster wie Probanden enthalten. Wenn ein Datensatz nur die Faktoren Ethnie und Geschlecht enthält, die jeweils auf zwei Stufen kodiert sind, gibt es nur vier mögliche Faktoren-/Kovariatenmuster. Wenn Sie die Daten als Häufigkeiten oder als Erfolge, Versuche oder Misserfolge eingeben, enthält jede Zeile ein Faktoren-/Kovariatenmuster.
So entfernt Minitab stark korrelierte Prädiktoren aus der Regressionsgleichung in Poisson-Modell anpassen
Sei rij das Element in der aktuellen mit der SWEEP-Methode behandelten Matrix, das xi und xj zugeordnet ist.
Variablen werden einzeln aufgenommen bzw. entfernt. xk kommt für die Aufnahme in Frage, wenn es sich um eine unabhängige Variable handelt, die aktuell nicht im Modell enthalten ist und bei der rkk ≥ 1 ist (Toleranz mit einem Standardwert von 0,0001) und bei der außerdem für jede Variable xj, die sich aktuell im Modell befindet, Folgendes gilt:
- Minitab wendet die SWEEP-Methode auf die Korrelationsmatrix R an und behandelt x1 … xp dabei wie Zufallsvariablen.
- Für stetige Prädiktoren vergleicht Minitab das Element rkk mit der Toleranz; rkk ≥ Toleranz, wobei k = 1 bis p.
- Für jede aktuell im Modell enthaltene Variable xj prüft Minitab, ob (rjj – rjk * (rkj / rkk)) * Toleranz ≤ 1 ist.
Hinweis
Hierbei sind rkk, rjk, rjj die entsprechenden diagonalen und nicht diagonalen Elemente für die Variablen xj und xk nach Ausführung der SWEEP-Operationen für k Schritte.
- Anderenfalls besteht der Prädiktor den Test nicht und wird aus dem Modell entfernt.
Hinweis
Der Standardwert für die Toleranz ist 8,8e–12.
Hinweis
Sie können den Unterbefehl TOLERANCE mit dem Sessionbefehl GZLM verwenden, um zu erzwingen, dass Minitab einen Prädiktor im Modell beibehält, der stark mit einem anderen Prädiktor korreliert. Das Absenken der Toleranz ist jedoch nicht ohne Risiko, da so möglicherweise numerisch ungenaue Ergebnisse entstehen.
