Methoden und Formeln für die geschätzte Gleichung in Poisson-Modell anpassen

Es gibt zwei Methoden, um die Maximum-Likelihood-Schätzwerte für die Koeffizienten zu ermitteln. Eine Methode besteht darin, die Likelihood-Funktion in Bezug auf die Koeffizienten direkt zu maximieren. Diese Ausdrücke sind in den Koeffizienten nichtlinear. Die alternative Methode besteht in einem iterativen Verfahren mit neu gewichteten kleinsten Quadraten; diese Methode verwendet Minitab, um die Schätzwerte der Koeffizienten zu erhalten. McCullagh und Nelder¹ zeigen, dass die beiden Methoden äquivalent sind. Die iterative Methode mit neu gewichteten kleinsten Quadraten ist jedoch leichter zu implementieren. Weitere Informationen finden Sie in [1].

[1] P. McCullagh und J. A. Nelder (1989). Generalized Linear Models, 2^nd Ed., Chapman & Hall/CRC, London.

Der Standardfehler des i-ten Koeffizienten ist die positive Quadratwurzel des i-ten Diagonalelements der Varianz-Kovarianz-Matrix. Die Varianz-Kovarianz-Matrix hat die folgende Form:

W ist eine Diagonalmatrix, bei der die Diagonalelemente mit der folgenden Formel angegeben werden:

Dabei gilt Folgendes:

Diese Varianz-Kovarianz-Matrix beruht nicht auf der Fisher-Informationsmatrix, sondern auf der beobachteten Hesse-Matrix. Minitab verwendet die beobachtete Hesse-Matrix, da das resultierende Modell robuster gegenüber fehlerhaften Angaben der bedingten Mittelwerte ist.

Wenn die kanonische Linkfunktion verwendet wird, sind die beobachtete Hesse-Matrix und die Fisher-Informationsmatrix identisch.

Notation

Begriff	Beschreibung
yi	Wert der Antwortvariablen für die i-te Zeile
	geschätzter Mittelwert der Antwortvariablen für die i-te Zeile
V(·)	Varianzfunktion aus der folgenden Tabelle
g(·)	Linkfunktion
V '(·)	erste Ableitung der Varianzfunktion
g'(·)	erste Ableitung der Linkfunktion
g''(·)	zweite Ableitung der Linkfunktion

Die Varianzfunktion hängt vom Modell ab:

Weitere Informationen finden Sie unter [1] und [2].

[1] A. Agresti (1990). Categorical Data Analysis. John Wiley & Sons, Inc.

[2] P. McCullagh und J.A. Nelder (1992). Generalized Linear Model. Chapman & Hall.

Mit der z-Statistik wird ermittelt, ob die Beziehung zwischen dem Prädiktor und der Antwortvariablen signifikant ist. Größere Absolutwerte von z weisen auf eine signifikante Beziehung hin. Die Formel lautet wie folgt:

Notation

Begriff	Beschreibung
Zi	Teststatistik für eine Standardnormalverteilung
	Geschätzter Koeffizient
	Standardfehler des geschätzten Koeffizienten

Bei kleinen Stichproben ist der Likelihood-Quotienten-Test möglicherweise zuverlässiger zum Erkennen der Signifikanz. Die p-Werte für den Likelihood-Quotienten befinden sich in der Abweichungstabelle. Wenn der Stichprobenumfang ausreichend groß ist, nähern sich die p-Werte für die z-Statistik den p-Werten für die Likelihood-Quotienten-Statistik an.

p-Werte werden in Hypothesentests verwendet, um Ihnen die Entscheidung zu ermöglichen, ob eine Nullhypothese zurückgewiesen oder nicht zurückgewiesen werden sollte. Der p-Wert stellt die Wahrscheinlichkeit dar, eine Teststatistik zu erhalten, die mindestens so extrem wie der tatsächlich berechnete Wert ist, wenn die Nullhypothese wahr ist. Ein häufig verwendeter Trennwert für den p-Wert ist 0,05. Wenn beispielsweise der berechnete p-Wert einer Teststatistik kleiner als 0,05 ist, weisen Sie die Nullhypothese zurück.

Hierbei handelt es sich um eine d x d-Matrix, wobei d die Anzahl der Prädiktoren plus eins ist. Die Varianz jedes Koeffizienten befindet sich in der Diagonalzelle, und die Kovarianz jedes Koeffizientenpaars befindet sich in der entsprechenden nicht diagonalen Zelle. Die Varianz ist der quadrierte Standardfehler des Koeffizienten.

Die Varianz-Kovarianz-Matrix stammt aus der letzten Iteration der Umkehrung der Informationsmatrix. Die Varianz-Kovarianz-Matrix hat die folgende Form:

W ist eine Diagonalmatrix, bei der die Diagonalelemente mit der folgenden Formel angegeben werden:

Dabei gilt Folgendes:

Diese Varianz-Kovarianz-Matrix beruht nicht auf der Fisher-Informationsmatrix, sondern auf der beobachteten Hesse-Matrix. Minitab verwendet die beobachtete Hesse-Matrix, da das resultierende Modell robuster gegenüber fehlerhaften Angaben der bedingten Mittelwerte ist.

Wenn die kanonische Linkfunktion verwendet wird, sind die beobachtete Hesse-Matrix und die Fisher-Informationsmatrix identisch.

Notation

Begriff	Beschreibung
yi	Wert der Antwortvariablen für die i-te Zeile
	geschätzter Mittelwert der Antwortvariablen für die i-te Zeile
V(·)	Varianzfunktion aus der folgenden Tabelle
g(·)	Linkfunktion
V '(·)	erste Ableitung der Varianzfunktion
g'(·)	erste Ableitung der Linkfunktion
g''(·)	zweite Ableitung der Linkfunktion

Die Varianzfunktion hängt vom Modell ab:

Weitere Informationen finden Sie in [1] und [2].

[1] A. Agresti (1990). Categorical Data Analysis. John Wiley & Sons, Inc.

[2] P. McCullagh und J.A. Nelder (1992). Generalized Linear Model. Chapman & Hall.