Methoden in Binäres logistisches Modell anpassenund Lineare Regression

Die Erweiterung der klassischen linearen Modelle auf verallgemeinerte lineare Modelle umfasst zwei Teile: eine Verteilung aus der Exponentialfamilie und eine Linkfunktion.

Exponentialfamilie

Der erste Teil erweitert das lineare Modell auf Antwortvariablen, die zu einer großen Familie von Verteilungen gehören, die als Exponentialfamilie bezeichnet werden. Mitglieder der Exponentialfamilie von Verteilungen weisen Dichtefunktionen für einen beobachteten Wert der Antwortvariablen in dieser allgemeinen Form auf:

Hierbei gilt: a(∙), b(∙) und c(∙) hängen von der Verteilung der Antwortvariablen ab. Der Parameter θ ist ein Lageparameter, der oft als kanonischer Parameter bezeichnet wird, und ϕ wird als Streuungsparameter bezeichnet. Die Funktion a(ϕ) hat meistens die Form a(ϕ) = ϕ/ ω, wobei ω eine bekannte Konstante oder Gewichtung ist, die zwischen den Beobachtungen variieren kann. (Wenn in Minitab Gewichtungen angegeben werden, wird die Funktion a(ϕ) entsprechend korrigiert.)

Bei Mitgliedern der Exponentialfamilie kann es sich um diskrete Verteilungen oder stetige Verteilungen handeln. Beispiele für stetige Verteilungen, die zur Exponentialfamilie gehören, sind die Normalverteilung und die Gamma-Verteilung. Zu den diskreten Verteilungen, die zur Exponentialfamilie gehören, zählen zum Beispiel die Binomialverteilung und die Poisson-Verteilung. In der folgenden Tabelle werden die Merkmale einiger dieser Verteilungen aufgeführt.

Verteilung	ϕ	b(θ)	a(φ)	c(y, ϕ)
Normal	σ2	θ2/2	φω
Binomial	1		φ/ω	-ln(y!)
Poisson	1	exp(θ)	φ/ω

Linkfunktion

Der zweite Teil ist die Linkfunktion. Die Linkfunktion setzt den Mittelwert der Antwortvariablen in der i-ten Beobachtung in folgender Form zu einem linearen Prädiktor in Beziehung:

Das klassische lineare Modell ist ein Sonderfall dieser allgemeinen Formel, wobei die Linkfunktion die Identitätsfunktion ist.

Die Auswahl der Linkfunktion im zweiten Teil hängt von der spezifischen Verteilung der Exponentialfamilie im ersten Teil ab. Jede Verteilung in der Exponentialfamilie weist eine bestimmte Linkfunktion auf, die als kanonische Linkfunktion bezeichnet wird. Diese Linkfunktion erfüllt die Gleichung g (μ_i) = X_i'β = θ, wobei θ der kanonische Parameter ist. Die kanonische Linkfunktion ergibt einige erwünschte statistische Eigenschaften des Modells. Mit Hilfe der Statistiken für die Güte der Anpassung können Sie die Anpassungen mit den verschiedenen Linkfunktionen vergleichen. Bestimmte Linkfunktionen können aus historischen Gründen verwendet werden, oder weil sie eine bestimmte Bedeutung in einer Disziplin haben. Beispielsweise besteht ein Vorteil der Logit-Linkfunktion darin, dass sie einen Schätzwert für das Chancenverhältnis liefert. Ein weiteres Beispiel ist die Normit-Linkfunktion: Bei dieser wird angenommen, dass eine zugrunde liegende Variable vorhanden ist, die einer Normalverteilung folgt und in binäre Kategorien unterteilt ist.

Minitab bietet drei Linkfunktionen für jede Klasse von Modellen. Mit Hilfe der verschiedenen Linkfunktionen können Sie Modelle bestimmen, die bei unterschiedlich ausgeprägten Daten eine adäquate Anpassung bieten.

Bei Binomialmodellen lauten die Linkfunktionen: Logit, Normit (auch als Probit bezeichnet) und Gompit (auch als komplementärer Log-Log bezeichnet). Hierbei handelt es sich um die Umkehrung der regulären kumulativen logistischen Verteilungsfunktion (Logit), die Umkehrung der regulären kumulativen Normalverteilungsfunktion (Normit) und die Umkehrung der Gompertz-Verteilungsfunktion (Gompit). Die Logit-Linkfunktion ist die kanonische Linkfunktion für Binomialmodelle, und somit ist Logit die standardmäßig vorgegebene Linkfunktion.

Bei Poisson-Modellen lauten die Linkfunktionen: natürlicher Logarithmus, Quadratwurzel und Identität. Der natürliche Logarithmus ist die kanonische Linkfunktion für Poisson-Modelle und somit die standardmäßig vorgegebene Linkfunktion.

Die Linkfunktionen werden im Folgenden zusammengefasst:

Modell	Name	Linkfunktion, g(μi)
Binomial	Logit
Binomial	Normit (Probit)
Binomial	Gompit (komplementärer Log-Log)
Poisson	natürlicher Logarithmus
Poisson	Quadratwurzel
Poisson	Identität

Notation

Begriff	Beschreibung
μi	Mittelwert der Antwortvariablen in der i-ten Zeile
g(μi)	Linkfunktion
X	Vektor der Prädiktorvariablen
β	Vektor der Koeffizienten, die den Prädiktoren zugeordnet sind
	inverse kumulative Verteilungsfunktion der Normalverteilung

Beschreibt einen einzelnen Satz von Faktoren-/Kovariatenwerten in einem Datensatz. Minitab berechnet für jedes Faktoren-/Kovariatenmuster Ereigniswahrscheinlichkeiten, Residuen und weitere Bewertungsmaße.

Wenn ein Datensatz beispielsweise die Faktoren Geschlecht und Ethnie sowie die Kovariate Alter enthält, können die Kombinationen dieser Prädiktoren so viele verschiedene Kovariatenmuster wie Probanden enthalten. Wenn ein Datensatz nur die Faktoren Ethnie und Geschlecht enthält, die jeweils auf zwei Stufen kodiert sind, gibt es nur vier mögliche Faktoren-/Kovariatenmuster. Wenn Sie die Daten als Häufigkeiten oder als Erfolge, Versuche oder Misserfolge eingeben, enthält jede Zeile ein Faktoren-/Kovariatenmuster.