Methoden und Formeln für die diagnostischen Maßnahmen in Binäres logistisches Modell anpassenund Binäre logistische Regression

Hiermit können Sie schlecht angepasste Faktoren-/Kovariatenmuster erkennen. Minitab speichert das standardisierte Residuum nach Pearson für das i-te Faktoren-/Kovariatenmuster. Entfernte Residuen nach Pearson werden auch als Likelihood-Quotienten-Residuen nach Pearson bezeichnet. Für das entfernte Residuum nach Pearson berechnet Minitab die in Pregibon¹ beschriebene Ein-Schritt-Approximation. Diese Approximation entspricht dem standardisierten Residuum nach Pearson. Die Formel lautet:

Notation

Begriff	Beschreibung
	Residuum nach Pearson für das i-te Faktoren-/Kovariatenmuster
	1, für die Binomial- und Poisson-Modelle
	Hebelwirkung für das i-te Faktoren-/Kovariatenmuster

Abweichungsresiduen basieren auf der Modellabweichung und sind hilfreich, um schlecht angepasste Faktoren-/Kovariatenmuster zu identifizieren. Die Modellabweichung ist eine Statistik zur Güte der Anpassung, die auf der Log-Likelihood-Funktion beruht. Das für das i-te Faktoren-/Kovariatenmuster definierte Abweichungsresiduum ist:

Notation

Begriff	Beschreibung
yi	Wert der Antwortvariablen für das i-te Faktoren-/Kovariatenmuster
	angepasster Wert für das i-te Faktoren-/Kovariatenmuster
	Abweichung für das i-te Faktoren-/Kovariatenmuster

Notation

Begriff	Beschreibung
rD,i	Abweichungsresiduum für das i-te Faktoren-/Kovariatenmuster
hi	Hebelwirkung für das i-te Faktoren-/Kovariatenmuster

Das entfernte Abweichungsresiduum ist ein Maß für die Änderung in der Abweichung, die auf das Entfernen des i-ten Falls aus den Daten zurückzuführen ist. Entfernte Abweichungsresiduen werden auch als Likelihood-Quotienten-Abweichungsresiduen bezeichnet. Für das entfernte Abweichungsresiduum berechnet Minitab eine Ein-Schritt-Approximation auf der Grundlage der Ein-Schritt-Approximationsmethode nach Pregibon¹. Die Formel lautet:

Notation

Begriff	Beschreibung
yi	Wert der Antwortvariablen beim i-ten Faktoren-/Kovariatenmuster
	angepasster Wert für das i-te Faktoren-/Kovariatenmuster
hi	Hebelwirkung für das i-te Faktoren-/Kovariatenmuster
r'D,i	standardisiertes Abweichungsresiduum für das i-te Faktoren-/Kovariatenmuster
r'P,i	standardisiertes Residuum nach Pearson für das i-te Faktoren-/Kovariatenmuster

1. Pregibon, D. (1981). „Logistic Regression Diagnostics.“ The Annals of Statistics, Vol. 9, No. 4, S. 705–724.

Minitab berechnet die Änderung im Chi-Quadrat nach Pearson, die dadurch bedingt ist, dass alle Beobachtungen mit dem j-ten Faktoren-/Kovariatenmuster entfernt wurden. Für jedes eindeutige Faktoren-/Kovariatenmuster in den Daten speichert Minitab einen Delta-Chi-Quadrat-Wert. Mit Hilfe des Delta-Chi-Quadrats können Sie schlecht angepasste Faktoren-/Kovariatenmuster erkennen. Die Formel für das Delta-Chi-Quadrat lautet:

Formel

Notation

Begriff	Beschreibung
hj	Hebelwirkung
rj	Residuen nach Pearson

Minitab berechnet die Änderung, indem alle Beobachtungen mit dem j-ten Faktoren-/Kovariatenmuster entfernt werden. Für jedes eindeutige Faktoren-/Kovariatenmuster in den Daten wird ein Wert gespeichert. Mit Hilfe des standardisierten Delta-β können Faktor-/Kovariatenmuster erkannt werden, die einen starken Einfluss auf die Schätzwerte der Koeffizienten haben. Dieser Wert basiert auf dem standardisierten Residuum nach Pearson.

Formel

Notation

Begriff	Beschreibung
hj	Hebelwirkung
rs j	standardisierte Residuen nach Pearson

Minitab berechnet die Änderung, indem alle Beobachtungen mit dem j-ten Faktoren-/Kovariatenmuster entfernt werden. Für jedes eindeutige Faktoren-/Kovariatenmuster in den Daten wird ein Wert gespeichert. Mit Hilfe des Delta-β können Faktor-/Kovariatenmuster erkannt werden, die einen starken Einfluss auf die Schätzwerte der Koeffizienten haben. Dieser Wert basiert auf dem Residuum nach Pearson.

Formel

Notation

Begriff	Beschreibung
hj	Hebelwirkung
rj	Residuen nach Pearson

Die Hebelwirkungen sind die Diagonalelemente der verallgemeinerten „Dach-Matrix“ (Hat-Matrix). Die Hebelwirkungen sind nützlich, um Faktoren-/Kovariatenmuster zu erkennen, die möglicherweise einen signifikanten Einfluss auf die Ergebnisse haben.

Formel

Notation

Begriff	Beschreibung
wj	j-tes Diagonalelement der Gewichtungsmatrix aus der Anpassung der Koeffizienten
xj	j-te Zeile der Designmatrix
X	Designmatrix
X'	transponiertes X
W	Gewichtungsmatrix aus der Schätzung der Koeffizienten

Minitab berechnet eine ungefähre Cook-Distanz.

Formel

Notation

Begriff	Beschreibung
hi	Hebelwirkung für das i-te Faktoren-/Kovariatenmuster
	standardisiertes Residuum nach Pearson für das i-te Faktoren-/Kovariatenmuster
p	Freiheitsgrade der Regression

Ein Maß für den Einfluss einer einzelnen Entfernung auf die angepassten Werte. Bei Beobachtungen mit großen DFITS-Werten handelt es sich möglicherweise um Ausreißer. Minitab berechnet einen ungefähren Wert für DFITS.

Formel

Notation

Begriff	Beschreibung
hi	Hebelwirkung für den Datenpunkt
	Das entfernte Residuum nach Pearson für den Datenpunkt

Notation

Begriff	Beschreibung
	Determinationskoeffizient mit xj als Antwortvariable und den anderen Termen im Modell als Prädiktoren

1. P. McCullagh und J. A. Nelder (1989). Generalized Linear Models, 2^nd Edition, Chapman & Hall/CRC, London.