Exponentialfamilie und Linkfunktionen
Die Erweiterung der klassischen linearen Modelle auf verallgemeinerte lineare Modelle umfasst zwei Teile: eine Verteilung aus der Exponentialfamilie und eine Linkfunktion.
Exponentialfamilie
Der erste Teil erweitert das lineare Modell auf Antwortvariablen, die zu einer großen Familie von Verteilungen gehören, die als Exponentialfamilie bezeichnet werden. Mitglieder der Exponentialfamilie von Verteilungen weisen Dichtefunktionen für einen beobachteten Wert der Antwortvariablen in dieser allgemeinen Form auf:
Hierbei gilt: a(∙), b(∙) und c(∙) hängen von der Verteilung der Antwortvariablen ab. Der Parameter θ ist ein Lageparameter, der oft als kanonischer Parameter bezeichnet wird, und ϕ wird als Streuungsparameter bezeichnet. Die Funktion a(ϕ) hat meistens die Form a(ϕ) = ϕ/ ω, wobei ω eine bekannte Konstante oder Gewichtung ist, die zwischen den Beobachtungen variieren kann. (Wenn in Minitab Gewichtungen angegeben werden, wird die Funktion a(ϕ) entsprechend korrigiert.)
Bei Mitgliedern der Exponentialfamilie kann es sich um diskrete Verteilungen oder stetige Verteilungen handeln. Beispiele für stetige Verteilungen, die zur Exponentialfamilie gehören, sind die Normalverteilung und die Gamma-Verteilung. Zu den diskreten Verteilungen, die zur Exponentialfamilie gehören, zählen zum Beispiel die Binomialverteilung und die Poisson-Verteilung. In der folgenden Tabelle werden die Merkmale einiger dieser Verteilungen aufgeführt.
| Verteilung | ϕ | b(θ) | a(φ) | c(y, ϕ) |
| Normal | σ2 | θ2/2 | φω |  |
| Binomial | 1 |  |
φ/ω | -ln(y!) |
| Poisson | 1 | exp(θ) | φ/ω |  |
Linkfunktion
Der zweite Teil ist die Linkfunktion. Die Linkfunktion setzt den Mittelwert der Antwortvariablen in der i-ten Beobachtung in folgender Form zu einem linearen Prädiktor in Beziehung:
Das klassische lineare Modell ist ein Sonderfall dieser allgemeinen Formel, wobei die Linkfunktion die Identitätsfunktion ist.
Die Auswahl der Linkfunktion im zweiten Teil hängt von der spezifischen Verteilung der Exponentialfamilie im ersten Teil ab. Jede Verteilung in der Exponentialfamilie weist eine bestimmte Linkfunktion auf, die als kanonische Linkfunktion bezeichnet wird. Diese Linkfunktion erfüllt die Gleichung g (μi) = Xi'β = θ, wobei θ der kanonische Parameter ist. Die kanonische Linkfunktion ergibt einige erwünschte statistische Eigenschaften des Modells. Mit Hilfe der Statistiken für die Güte der Anpassung können Sie die Anpassungen mit den verschiedenen Linkfunktionen vergleichen. Bestimmte Linkfunktionen können aus historischen Gründen verwendet werden, oder weil sie eine bestimmte Bedeutung in einer Disziplin haben. Beispielsweise besteht ein Vorteil der Logit-Linkfunktion darin, dass sie einen Schätzwert für das Chancenverhältnis liefert. Ein weiteres Beispiel ist die Normit-Linkfunktion: Bei dieser wird angenommen, dass eine zugrunde liegende Variable vorhanden ist, die einer Normalverteilung folgt und in binäre Kategorien unterteilt ist.
Minitab bietet drei Linkfunktionen. Mit Hilfe der verschiedenen Linkfunktionen können Sie Modelle bestimmen, die bei unterschiedlich ausgeprägten Daten eine adäquate Anpassung bieten. Die folgenden Linkfunktionen sind verfügbar: Logit, Normit (auch als Probit bezeichnet) und Gompit (auch als komplementärer Log-Log bezeichnet). Hierbei handelt es sich um die Umkehrung der regulären kumulativen logistischen Verteilungsfunktion (Logit), die Umkehrung der regulären kumulativen Normalverteilungsfunktion (Normit) und die Umkehrung der Gompertz-Verteilungsfunktion (Gompit). Die Logit-Linkfunktion ist die kanonische Linkfunktion für Binomialmodelle, und somit ist Logit die standardmäßig vorgegebene Linkfunktion.
| Modell | Name | Linkfunktion, g(μi) |
| Binomial | Logit |  |
| Binomial | Normit (Probit) |  |
| Binomial | Gompit (komplementärer Log-Log) |  |
Notation
| Begriff | Beschreibung |
|---|---|
| μi | Mittelwert der Antwortvariablen in der i-ten Zeile |
| g(μi) | Linkfunktion |
| X | Vektor der Prädiktorvariablen |
| β | Vektor der Koeffizienten, die den Prädiktoren zugeordnet sind |
 | inverse kumulative Verteilungsfunktion der Normalverteilung |
Faktoren-/Kovariatenmuster
Beschreibt einen einzelnen Satz von Faktoren-/Kovariatenwerten in einem Datensatz. Minitab berechnet für jedes Faktoren-/Kovariatenmuster Ereigniswahrscheinlichkeiten, Residuen und weitere Bewertungsmaße.
Wenn ein Datensatz beispielsweise die Faktoren Geschlecht und Ethnie sowie die Kovariate Alter enthält, können die Kombinationen dieser Prädiktoren so viele verschiedene Kovariatenmuster wie Probanden enthalten. Wenn ein Datensatz nur die Faktoren Ethnie und Geschlecht enthält, die jeweils auf zwei Stufen kodiert sind, gibt es nur vier mögliche Faktoren-/Kovariatenmuster. Wenn Sie die Daten als Häufigkeiten oder als Erfolge, Versuche oder Misserfolge eingeben, enthält jede Zeile ein Faktoren-/Kovariatenmuster.
Versuchsplanmatrix
Minitab generiert für jeden Versuchsplan eine Versuchsplanmatrix. Die erste Spalte enthält ausschließlich Einsen für den konstanten Term. Wenn der Versuchsplan in k Blöcke aufgeteilt ist, liegen (k − 1) Spalten für Blöcke vor. Minitab verwendet dieselbe Methode der Blockkodierung wie in faktoriellen Modellen. Es folgt jeweils eine Spalte für jeden Haupteffekt. Terme mit kategorialen Faktoren können mehrere Spalten aufweisen. Wenn das Modell quadrierte Terme aufweist, ist für jeden quadrierten Term eine Spalte vorhanden. Die Spalte für einen quadrierten Term ist das Produkt des entsprechenden Faktors mit sich selbst. Wenn das Modell Wechselwirkungsterme enthält, ist für jeden Wechselwirkungsterm eine Spalte vorhanden. Wechselwirkungen mit kategorialen Faktoren können mehrere Spalten aufweisen. Die Spalte für einen Wechselwirkungsterm entspricht dem Produkt der beiden gekreuzten Spalten.
Wenn Minitab einige Terme entfernt, weil sie von den Daten nicht unterstützt werden, sind die betreffenden Terme nicht in der gespeicherten Versuchsplanmatrix enthalten. Die gespeicherten Spalten stimmen mit den angezeigten Koeffizienten überein.
