Methoden und Formeln für die geschätzte Gleichung in Binäre Antwort für faktoriellen Versuchsplan analysieren

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Dieser Abschnitt bezieht sich auf die folgenden Werkzeuge in Minitab:

Binäres logistisches Modell anpassen
Binäre Antwort für definitiven Screening-Versuchsplan analysieren
Binäre Antwort für faktoriellen Versuchsplan analysieren
Binäre Antwort für Wirkungsflächenversuchsplan analysieren

In diesem Thema

Koeffizienten
Standardfehler der Koeffizienten
z
p-Wert (p)
Chancenverhältnisse für eine binäre logistische Regression
Konfidenzintervall
Varianz-Kovarianz-Matrix

Koeffizienten

Es gibt zwei Methoden, um die Maximum-Likelihood-Schätzwerte für die Koeffizienten zu ermitteln. Eine Methode besteht darin, die Likelihood-Funktion in Bezug auf die Koeffizienten direkt zu maximieren. Diese Ausdrücke sind in den Koeffizienten nichtlinear. Die alternative Methode besteht in einem iterativen Verfahren mit neu gewichteten kleinsten Quadraten; diese Methode verwendet Minitab, um die Schätzwerte der Koeffizienten zu erhalten. McCullagh und Nelder¹ zeigen, dass die beiden Methoden äquivalent sind. Die iterative Methode mit neu gewichteten kleinsten Quadraten ist jedoch leichter zu implementieren. Weitere Informationen finden Sie in [1].

[1] P. McCullagh und J. A. Nelder (1989). Generalized Linear Models, 2^nd Ed., Chapman & Hall/CRC, London.

Standardfehler der Koeffizienten

Der Standardfehler des i-ten Koeffizienten ist die positive Quadratwurzel des i-ten Diagonalelements der Varianz-Kovarianz-Matrix. Die Varianz-Kovarianz-Matrix hat die folgende Form:

W ist eine Diagonalmatrix, bei der die Diagonalelemente mit der folgenden Formel angegeben werden:

Dabei gilt Folgendes:

Diese Varianz-Kovarianz-Matrix beruht nicht auf der Fisher-Informationsmatrix, sondern auf der beobachteten Hesse-Matrix. Minitab verwendet die beobachtete Hesse-Matrix, da das resultierende Modell robuster gegenüber fehlerhaften Angaben der bedingten Mittelwerte ist.

Wenn die kanonische Linkfunktion verwendet wird, sind die beobachtete Hesse-Matrix und die Fisher-Informationsmatrix identisch.

Notation

Begriff	Beschreibung
y_i	Wert der Antwortvariablen für die i-te Zeile
	geschätzter Mittelwert der Antwortvariablen für die i-te Zeile
V(·)	Varianzfunktion aus der folgenden Tabelle
g(·)	Linkfunktion
V '(·)	erste Ableitung der Varianzfunktion
g'(·)	erste Ableitung der Linkfunktion
g''(·)	zweite Ableitung der Linkfunktion

Die folgende Gleichung gibt die Varianzfunktion für ein Binomialmodell an:

Weitere Informationen finden Sie unter [1] und [2].

[1] A. Agresti (1990). Categorical Data Analysis. John Wiley & Sons, Inc.

[2] P. McCullagh und J. A. Nelder (1992). Generalized Linear Model. Chapman & Hall.

z

Mit der z-Statistik wird ermittelt, ob die Beziehung zwischen dem Prädiktor und der Antwortvariablen signifikant ist. Größere Absolutwerte von z weisen auf eine signifikante Beziehung hin. Die Formel lautet wie folgt:

Notation

Begriff	Beschreibung
Z_i	Teststatistik für eine Standardnormalverteilung
	Geschätzter Koeffizient
	Standardfehler des geschätzten Koeffizienten

Bei kleinen Stichproben ist der Likelihood-Quotienten-Test möglicherweise zuverlässiger zum Erkennen der Signifikanz. Die p-Werte für den Likelihood-Quotienten befinden sich in der Abweichungstabelle. Wenn der Stichprobenumfang ausreichend groß ist, nähern sich die p-Werte für die z-Statistik den p-Werten für die Likelihood-Quotienten-Statistik an.

p-Wert (p)

p-Werte werden in Hypothesentests verwendet, um Ihnen die Entscheidung zu ermöglichen, ob eine Nullhypothese zurückgewiesen oder nicht zurückgewiesen werden sollte. Der p-Wert stellt die Wahrscheinlichkeit dar, eine Teststatistik zu erhalten, die mindestens so extrem wie der tatsächlich berechnete Wert ist, wenn die Nullhypothese wahr ist. Ein häufig verwendeter Trennwert für den p-Wert ist 0,05. Wenn beispielsweise der berechnete p-Wert einer Teststatistik kleiner als 0,05 ist, weisen Sie die Nullhypothese zurück.

Chancenverhältnisse für eine binäre logistische Regression

Das Chancenverhältnis wird nur ausgegeben, wenn Sie für ein Modell mit einer binären Antwortvariablen die Logit-Linkfunktion auswählen. In diesem Fall ist das Chancenverhältnis hilfreich beim Interpretieren der Beziehung zwischen einem Prädiktor und einer Antwortvariablen.

Der Wert für das Chancenverhältnis (τ) kann jede nicht negative Zahl sein. Das Chancenverhältnis = 1 dient als Basis für den Vergleich. Wenn τ = 1, besteht zwischen der Antwortvariablen und dem Prädiktor keine Assoziation. Wenn τ < 1, ist die Chance für das Ereignis auf der Referenzstufe des Faktors (oder auf niedrigeren Stufen eines stetigen Prädiktors) größer. Wenn τ > 1, ist die Chance für das Ereignis auf der Referenzstufe des Faktors (oder auf niedrigeren Stufen eines stetigen Prädiktors) kleiner. Je weiter ein Wert von 1 entfernt ist, desto stärker ist der Grad der Assoziation.

Hinweis

Für das binäre logistische Regressionsmodell mit einer Kovariate oder einem Faktor beträgt die geschätzte Erfolgschance:

Die exponentielle Beziehung liefert eine Interpretation für β: Die Chance steigt bei jeder Zunahme von x um eine Einheit multiplikativ um e^β₁. Das Chancenverhältnis entspricht exp(β₁).

Wenn β z. B. 0,75 beträgt, beträgt das Chancenverhältnis exp(0,75), also 2,11. Dies weist darauf hin, dass die Erfolgschance mit jeder Zunahme von x um eine Einheit um 111 % ansteigt.

Notation

Begriff	Beschreibung
	geschätzte Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs für die i-te Zeile in den Daten
	geschätzter Koeffizient des Schnittpunkts mit der y-Achse
	geschätzter Koeffizient für Prädiktor x
	Datenpunkt für die i-te Zeile

Konfidenzintervall

Das Konfidenzintervall bei großen Stichproben für einen geschätzten Koeffizienten lautet:

Bei der binären logistischen Regression stellt Minitab Konfidenzintervalle für die Chancenverhältnisse bereit. Um das Konfidenzintervall für das Chancenverhältnis zu erhalten, potenzieren Sie die Unter- und die Obergrenze des Konfidenzintervalls. Das Intervall gibt den Bereich an, in dem die Chance für jede Änderung des Prädiktors um eine Einheit liegen kann.

Notation

Begriff	Beschreibung
	i-ter Koeffizient
	inverse kumulative Wahrscheinlichkeit der Standardnormalverteilung bei
	Signifikanzniveau
	Standardfehler des geschätzten Koeffizienten

Varianz-Kovarianz-Matrix

Hierbei handelt es sich um eine d x d-Matrix, wobei d die Anzahl der Prädiktoren plus eins ist. Die Varianz jedes Koeffizienten befindet sich in der Diagonalzelle, und die Kovarianz jedes Koeffizientenpaars befindet sich in der entsprechenden nicht diagonalen Zelle. Die Varianz ist der quadrierte Standardfehler des Koeffizienten.

Die Varianz-Kovarianz-Matrix stammt aus der letzten Iteration der Umkehrung der Informationsmatrix. Die Varianz-Kovarianz-Matrix hat die folgende Form:

W ist eine Diagonalmatrix, bei der die Diagonalelemente mit der folgenden Formel angegeben werden:

Dabei gilt Folgendes:

Wenn die kanonische Linkfunktion verwendet wird, sind die beobachtete Hesse-Matrix und die Fisher-Informationsmatrix identisch.

Notation

Begriff	Beschreibung
y_i	Wert der Antwortvariablen für die i-te Zeile
	geschätzter Mittelwert der Antwortvariablen für die i-te Zeile
V(·)	Varianzfunktion aus der folgenden Tabelle
g(·)	Linkfunktion
V '(·)	erste Ableitung der Varianzfunktion
g'(·)	erste Ableitung der Linkfunktion
g''(·)	zweite Ableitung der Linkfunktion

Die folgende Gleichung gibt die Varianzfunktion für ein Binomialmodell an:

Weitere Informationen finden Sie unter [1] und [2].

[1] A. Agresti (1990). Categorical Data Analysis. John Wiley & Sons, Inc.

[2] P. McCullagh und J.A. Nelder (1992). Generalized Linear Model. Chapman & Hall.