Koeffizienten für die Referenzstufe im allgemeinen linearen Modell (GLM) in Minitab

Das allgemeine lineare Modell (GLM) passt das Modell mit Hilfe eines Regressionsverfahrens an. Anschließend kodiert das GLM-Verfahren die Faktorstufen als Indikatorvariablen, mit denen die Koeffizienten für alle Terme berechnet werden. Die Interpretation der Koeffizienten hängt davon ab, ob für die Indikatorvariablen die (–1, 0, +1)-Kodierung oder (1, 0)-Kodierung verwendet wird. Bei der (–1, 0, +1)-Kodierung stellen die Koeffizienten die Distanz zwischen den Faktorstufen und dem Gesamtmittelwert dar. Bei der (1, 0)-Kodierung stellen die Koeffizienten die Differenz zwischen den anderen Faktorstufen und der Referenzstufe für den Faktor dar.

Bei beiden Typen der Kodierung ist eine der Stufen die Referenzstufe. Standardmäßig gibt Minitab den Koeffizienten für die Referenzstufe nicht in der Koeffiziententabelle an. Manchmal empfiehlt es sich jedoch, den Koeffizienten der Referenzstufe zu ermitteln, um einen Vergleich des Referenzwerts mit dem Gesamtmittelwert in Bezug auf Größe und Richtung zu ermöglichen.

So wird der Koeffizient für die Referenzstufe angezeigt

Im GLM befindet sich der Koeffizient für die Referenzstufe in der einzelnen Regressionsgleichung. Verfahren Sie wie folgt, um die Gleichung in der Koeffiziententabelle anzuzeigen:

Wählen Sie Statistik > Varianzanalyse (ANOVA) > Allgemeines lineares Modell > Allgemeines lineares Modell anpassen aus.
Klicken Sie auf Ergebnisse.
Wählen Sie im Feld Koeffizienten die Option Vollständiger Satz Koeffizienten aus.
Klicken Sie in den einzelnen Dialogfeldern auf OK.

So wird der Koeffizient für die Referenzstufe berechnet

Angenommen, Sie führen einen Test mit einem allgemeinen linearen Modell mit 2 Faktoren aus. Faktor 1 weist 3 verschiedene Einstellungen (35, 44 und 52) auf. Bei Faktor 2 handelt es sich um 2 verschiedene Zeiten (1 und 2). Minitab verwendet die (-1, 0, +1)-Kodierung. In den folgenden Tabellen werden die Faktoren und ihre Indikatorvariablen aufgeführt:

Faktor 1 weist 3 Stufen auf, daher verfügt Faktor 1 über 2 Indikatorvariablen. Wenn die Einstellung 35 lautet, ist die erste Indikatorvariable 1 und die zweite Indikatorvariable 0. Wenn die Einstellung 44 lautet, ist die erste Indikatorvariable 0 und die zweite Indikatorvariable 1. Wenn die Einstellung 52 lautet, sind beide Indikatorvariablen –1. Die Stufe, auf der die Einstellung 52 lautet, ist die Referenzstufe.

Faktor 2	Indikator 1	Indikator 2
52	–1	–1
35	1	0
44	0	1
52	–1	–1
44	0	1
35	1	0

Wenn für Faktor 2 die Zeit 1 ist, ist die Indikatorvariable ebenfalls 1. Wenn die Zeit 2 ist, ist die Indikatorvariable –1. Die Stufe, auf der die Einstellung 2 lautet, ist die Referenzstufe.

Faktor 1	Indikator
1	1
1	1
2	–1
2	–1
1	1
2	–1

Sie erhalten die folgende Koeffiziententabelle:

Koeffizienten Term Koef SE Koef t-Wert p-Wert VIF Konstante 68,22 1,28 53,36 0,000 Einstellung 35 -27,64 1,81 -15,29 0,000 1,33 44 4,86 1,81 2,69 0,011 1,33 Zeit 1 -0,50 1,28 -0,39 0,698 1,00

Das ANOVA-Modell sieht wie folgt aus:

Regressionsgleichung Stärke = 68,22 - 27,64 Einstellung_35 + 4,86 Einstellung_44 + 22,78 Einstellung_52 - 0,50 Zeit_1 + 0,50 Zeit_2

Beachten Sie, dass die Tabelle nicht die Koeffizienten für 52 (Faktor 1) bzw. 2 (Faktor 2) enthält, die die Referenzstufen für die einzelnen Faktoren darstellen. Sie können diese Werte jedoch auf einfache Weise berechnen, indem Sie den Gesamtmittelwert von den Mittelwerten der einzelnen Stufen subtrahieren. Der konstante Term ist der Gesamtmittelwert.

Gehen Sie wie folgt vor, um in Minitab den Mittelwert für die einzelnen Stufen anzuzeigen:

Wählen Sie Statistik > Statistische Standardverfahren > Deskriptive Statistik anzeigen aus.
Geben Sie im Feld Variablen die Antwortvariable ein.
Geben Sie im Feld Nach Variablen (optional) den Faktor ein.
Klicken Sie auf OK.

Wiederholen Sie die Schritte für jeden Faktor.

Die Mittelwerte für die Beispieldaten lauten wie folgt:

Gesamt = 68,22
Einstellung 35 (Faktor 1) = 40,583
Einstellung 44 (Faktor 1) = 73,08
Einstellung 52 (Faktor 1) = 91
Zeit 1 (Faktor 2) = 67,72
Zeit 2 (Faktor 2) = 68,72

Die Koeffizienten werden als Stufenmittelwert – Gesamtmittelwert berechnet. Daher liegen die folgenden Koeffizienten für die einzelnen Stufen vor:

Einstellung 35 (Faktor 1) = 40,58 – 68,22 = –27,64
Einstellung 44 (Faktor 1) = 73,08 – 68,22 = 4,86
Einstellung 52 (Faktor 1) = 91 – 68,22 = 22,78 (in der Koeffiziententabelle nicht gezeigt)
Zeit 1 (Faktor 2) = 67,72 – 68,22 = –0,5
Zeit 2 (Faktor 2) = 68,72 – 68,22 = 0,5 (nicht in der Koeffiziententabelle gezeigt)

Hinweis

Sie können die Koeffizienten für die Referenzstufe rasch bestimmen, indem Sie die Stufenkoeffizienten für einen Faktor (mit Ausnahme der Konstanten) summieren und mit –1 multiplizieren. Beispiel: Der Koeffizient für Einstellung 52 = –1 * [(–27,64) + (4,86)] = 22,78.

Wenn Sie eine Kovariate hinzufügen oder die Stichprobenumfänge in den einzelnen Gruppen ungleich sind, werden den Koeffizienten die gewichteten Mittelwerte für die einzelnen Faktorstufen und nicht der arithmetische Mittelwert (Summe der Beobachtungen dividiert durch n) zugrunde gelegt.