Methoden und Formeln für Test auf gleiche Varianzen

Intervalle für Mehrfachvergleiche für k > 2 Stichproben

Sei k > 2 unabhängige Stichproben, jeweils unabhängig und identisch verteilt mit dem Mittelwert und der Varianz . Sei außerdem angenommen, dass die Stichproben aus Grundgesamtheiten mit einer gemeinsamen Kurtosis stammen.

Des Weiteren sei ein Schätzwert der zusammengefassten Kurtosis für das Paar von Stichproben (i, j), das wie folgt gegeben wird:

Sei der obere a-Punkt der Spannweite von k Variablen, die unabhängig und gemäß einer zufälligen Standardnormalverteilung identisch verteilt sind. Das heißt, erfüllt folgende Bedingungen:

Hierbei sind Z₁, ..., Z_k unabhängige und gemäß einer Standardnormalverteilung identisch verteilte Zufallsvariablen. Barnard (1978) gibt einen einfachen numerischen Algorithmus an, der auf einer Gaußschen Quadratur von 16 Punkten zum Berechnen der Verteilungsfunktion über die Spannweite der Normalverteilung basiert.

Beim Mehrfachvergleichsverfahren wird die Nullhypothese der Gleichheit der Varianzen (auch als Homogenität der Varianzen bezeichnet) nur dann zurückgewiesen, wenn mindestens ein Paar der folgenden Intervalle keine Überlappung aufweist:

Dabei gilt Folgendes:

wobei r_i = (n_i – 3) / n_i.

Die oben aufgeführten Intervalle werden als Mehrfachvergleichsintervalle oder MV-Intervalle bezeichnet. Die MV-Intervalle für die einzelnen Stichproben dürfen nicht als Konfidenzintervalle für die Standardabweichungen der übergeordneten Grundgesamtheiten interpretiert werden. Hochberg et al. (1982) bezeichnen ähnliche Intervalle für Vergleiche von Mittelwerten als „Unsicherheitsintervalle“. Die hier angegebenen MV-Intervalle sind nur nützlich bei Vergleichen der Standardabweichungen bzw. Varianzen für Designs mit mehreren Stichproben. Wenn der Mehrfachvergleichstest insgesamt signifikant ist, unterscheiden sich die Standardabweichungen, die den einander nicht überlappenden Intervallen entsprechen, statistisch voneinander. (Eine ausführliche Ableitung dieser Intervalle finden Sie im White Paper zu Methoden für Mehrfachvergleiche.)

Intervalle für Mehrfachvergleiche für k = 2 Stichproben

Wenn lediglich zwei Stichproben vorhanden sind, werden die Intervalle für die Mehrfachvergleiche wie folgt ausgedrückt:

Hierbei ist z_{α / 2} der obere (α / 2)-Perzentilpunkt der Standardnormalverteilung, c_i = n_i / n_i – z_{α / 2}, und V_i wird mit der folgenden Formel angegeben:

p-Wert für den Test

Wenn zwei Stichproben im Design vorhanden sind, berechnet Minitab den p-Wert für den Mehrfachvergleichstest mit der Bonett-Methode für einen Test auf Varianzen bei zwei Stichproben und einem hypothetischen Verhältnis Ρ_o von 1.

Wenn k > 2 Stichproben im Design vorhanden sind, sei P_{i j} der p-Wert des Tests für ein Paar (i, j) von Stichproben. Der p-Wert für das Mehrfachvergleichsverfahren als Gesamttest auf Gleichheit der Varianzen wird mit folgender Formel angegeben:

Weitere Informationen, u. a. Simulationen und detaillierte Algorithmen zum Berechnen von P_{i j}, finden Sie in Bonett-Methode, einem White Paper mit Simulationen und sonstigen Informationen zur Bonett-Methode.

Notation

Begriff	Beschreibung
ni	Anzahl der Beobachtungen in der Stichprobe i
Y i l	l-te Beobachtung in Stichprobe i
mi	getrimmtes Mittel für die Stichprobe i mit getrimmten Anteilen von
k	Anzahl der Stichproben
Si	Standardabweichung von Stichprobe i
α	Signifikanzniveau für den Test = 1 – (Konfidenzniveau/100)
Ci
Zα / 2	oberer (α / 2)-Perzentilpunkt der Standardnormalverteilung
ri

Minitab zeigt eine Teststatistik und einen p-Wert für den Levene-Test an. Die Nullhypothese besagt, dass die Varianzen gleich sind, während die Alternativhypothese besagt, dass die Varianzen ungleich sind. Verwenden Sie den Levene-Test, wenn die Daten zwar aus stetigen, aber nicht unbedingt aus normalverteilten Stichproben stammen.

Die Berechnungsmethode für den Levene-Test ist eine Abwandlung des Levene-Verfahrens (Levene, 1960), die von Brown und Forsythe (1974) entwickelt wurde. Diese Methode berücksichtigt die Distanzen der Beobachtungen von ihrem Stichprobenmedian statt ihrem Stichprobenmittelwert. Da sich der Test auf den Stichprobenmedian und nicht auf den Stichprobenmittelwert stützt, ist er robuster bei kleineren Stichproben, und das Verfahren ist asymptotisch verteilungsfrei. Wenn der p-Wert kleiner als das α-Niveau ist, verwerfen Sie die Nullhypothese, dass die Varianzen gleich sind.

Formel

• H. Levene (1960). Contributions to Probability and Statistics. Stanford University Press, CA.
• M. B. Brown and A. B. Forsythe (1974). „Robust tests for the equality of variance“, Journal of the American Statistical Association, 69, 364-367.

Notation

Begriff	Beschreibung
Vij
i	1, ..., k
j	1, ..., ni
	Median

Minitab zeigt eine Teststatistik und einen p-Wert für den Bartlett-Test an. Wenn nur zwei Stufen vorhanden sind, führt Minitab anstelle des Bartlett-Tests einen F-Test durch. Für diese Tests besagt die Nullhypothese, dass die Varianzen gleich sind, während die Alternativhypothese besagt, dass die Varianzen ungleich sind. Verwenden Sie einen Bartlett-Test, wenn die Daten aus Normalverteilungen stammen. Der Bartlett-Test ist gegenüber Abweichungen von der Normalverteilung nicht robust.

Mit der Bartlett-Teststatistik werden der gewichtete arithmetische Durchschnitt und der gewichtete geometrische Durchschnitt der einzelnen Stichprobenvarianzen auf der Grundlage der Freiheitsgrade berechnet. Je größer die Differenz in den Durchschnitten, desto wahrscheinlicher ist es, dass die Varianzen der Stichproben ungleich sind. B folgt einer χ²-Verteilung mit k–1 Freiheitsgraden. Wenn der p-Wert kleiner als das α-Niveau ist, verwerfen Sie die Nullhypothese, dass die Varianzen gleich sind.

Formel

Notation

Begriff	Beschreibung
si2
k	Anzahl der Stichproben
vi	ni – 1
ni	Anzahl der Beobachtungen auf der i-ten Faktorstufe

Wenn nur zwei Stufen vorhanden sind, führt Minitab anstelle des Bartlett-Tests einen F-Test durch. Die Nullhypothese besagt, dass die Varianzen gleich sind, während die Alternativhypothese besagt, dass die Varianzen ungleich sind. Verwenden Sie die F-Statistik, wenn die Daten aus Normalverteilungen stammen.

Wenn der p-Wert kleiner als das α-Niveau ist, verwerfen Sie die Nullhypothese, dass die Varianzen gleich sind.

Formel

Notation

Notation

Begriff	Beschreibung
yij	Beobachtungen auf der i-ten Faktorstufe
	Mittelwert der Beobachtungen auf der i-ten Faktorstufe
ni	Anzahl der Beobachtungen auf der i-ten Faktorstufe

Minitab berechnet die Konfidenzintervalle für die Standardabweichungen mit der Bonferroni-Methode. Ein Konfidenzintervall ist ein Bereich von Werten, der wahrscheinlich einen Parameter der Grundgesamtheit enthält; in diesem Fall handelt es sich um die Standardabweichung.

Reguläre Konfidenzintervalle werden mit einem Konfidenzniveau von 1–α/2 berechnet. Bei der Bonferroni-Methode wird hingegen das Konfidenzniveau 1–α/2p für jedes individuelle Konfidenzintervall verwendet, wobei p die Anzahl der Faktor- und Stufenkombinationen angibt. Mit der Methode wird sichergestellt, dass die Gesamtheit der Konfidenzintervalle ein Konfidenzniveau von mindestens 1–α aufweist. Die Bonferroni-Methode liefert konservativere (breitere) Konfidenzintervalle, wodurch die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art gemindert wird.