Methoden und Formeln für Varianzkomponenten in Modell mit gemischten Effekten anpassen

Bei den Varianzkomponenten ist eine iterative Lösung erforderlich, um den Parameter θ_i zu schätzen. Sobald der Parameter vorliegt, besitzen die Varianzkomponenten explizite Lösungen. Die Formel für die Varianzkomponente für Fehler lautet:

wobei

Im Folgenden sind die Varianzkomponenten für die Terme der Zufallseffekte angegeben:

Weitere Informationen zum Schätzen von θ_i finden Sie in [1].

Weitere Einzelheiten zur Notation finden Sie im Abschnitt „Methoden“.

Literaturhinweise

1. Hemmerle, W. und Hartley, H. (1973). Computing Maximum Likelihood Estimates for the Mixed A.O.V. Model using the W transformation. Technometrics, 15(4): S. 819-831.

Um die Standardfehler von Varianzkomponenten zu schätzen, beginnt Minitab mit der beobachteten Fisher-Informationsmatrix. Die Matrix weist c + 1 Zeilen und Spalten auf. Die Variable c ist die Anzahl der Terme der Zufallseffekte im Modell, und 1 stellt die Varianz für den Fehlerterm dar. Für i = 1, …, c und j = 1, …, c finden Sie im Folgenden die Formel für die ij-te Komponente der beobachteten Fisher-Informationsmatrix:

Dabei gilt Folgendes:

Die folgende Formel ist die Komponente der letzten Zeile und der Spalte, j = 1, …, c:

Dabei gilt Folgendes:

Diese Komponente entspricht zudem dem Wert der letzten Spalte und der Zeile durch die Symmetrieeigenschaft der Varianz-Kovarianz-Matrix.

Die folgende Formel gibt die Komponente der letzten Zeile und der letzten Spalte an:

Die asymptotische Varianz-Kovarianz-Matrix für die Schätzwerte der Varianzkomponenten beläuft sich auf das Doppelte der Umkehrung der beobachteten Fisher-Informationsmatrix. Die Schätzwerte der Standardfehler sind die Quadratwurzeln der Diagonalelemente der Varianz-Kovarianz-Matrix. Die ersten c Diagonalelemente stehen für die Varianzkomponenten der Terme der Zufallseffekte. Das letzte Diagonalelement ist für die Fehlervarianzkomponente bestimmt.

Notation

Begriff	Beschreibung
	Spur der Matrix
	die Summe der Quadrate aller Elemente in der Matrix M

Weitere Einzelheiten zur Notation finden Sie im Abschnitt „Methoden“.

Minitab verwendet die Delta-Methode, um Konfidenzgrenzen nach Wald für den natürlichen Logarithmus der Varianzkomponenten zu konstruieren, und potenziert dann die Konfidenzintervalle für die Varianzkomponenten. Die Formeln für die Varianzkomponente für Fehler weisen die gleiche Form auf.

Beidseitiges Intervall

Untergrenze

Obergrenze

Notation

Begriff	Beschreibung
	das -Quantil aus der Standardnormalverteilung
	1 − Konfidenzniveau
	der Standardfehler der Varianzkomponente
	die Varianzkomponente für den Term mit Zufallseffekten

Notation

Die asymptotische Varianz-Kovarianz-Matrix ist die Umkehrung der beobachteten Fisher-Informationsmatrix. Die Matrix weist c + 1 Zeilen und Spalten auf. Die Variable c ist die Anzahl der Terme der Zufallseffekte im Modell, und 1 stellt die Varianz für den Fehlerterm dar. Für i = 1, …, c und j = 1, …, c gilt die folgende Formel für die Komponente der beobachteten Fisher-Informationsmatrix:

Dabei gilt Folgendes:

Die folgende Formel ist die Komponente der letzten Zeile und der Spalte, j = 1, …, c:

Dabei gilt Folgendes:

Diese Komponente entspricht zudem dem Wert der letzten Spalte und der Zeile durch die Symmetrieeigenschaft der Varianz-Kovarianz-Matrix.

Die folgende Formel gibt die Komponente der letzten Zeile und der letzten Spalte an:

Notation

Begriff	Beschreibung
	Spur der Matrix

Weitere Einzelheiten zur Notation finden Sie im Abschnitt „Methoden“.