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In diesem Thema

Das Modell mit gemischten Effekten und Log-Likelihood
Eingeschränkte Maximum-Likelihood-Schätzung (Restricted Maximum Likelihood, REML)

Das Modell mit gemischten Effekten und Log-Likelihood

Die allgemeine Form des Modells mit gemischten Effekten

Modelle mit gemischten Effekten enthalten sowohl feste Effekte als auch Zufallseffekte. Die allgemeine Form des Modells mit gemischten Effekten sieht wie folgt aus:

y = Xβ + Z₁μ₁ + Z₂μ₂ + ... + Z_cμ_c + ε

Notation

Begriff	Beschreibung
y	(n x 1)-Vektor von Werten der Antwortvariablen
x	die n x p-Designmatrix für die Terme der festen Effekte, p ≤ n
β	ein (p x 1)-Vektor von unbekannten Parametern
	die n x m_i-Designmatrix für den Zufallsterm im Modell
μ_i	ein m_i x 1-Vektor von unabhängigen Variablen aus N(0, )
ε	ein n x 1-Vektor von unabhängigen Variablen aus N(0, )
n	Anzahl der Beobachtungen
p	die Anzahl der Parameter in
c	die Anzahl der Zufallsterme im Modell

Varianz-Kovarianz-Matrix

Auf Grundlage der Modellannahme für die allgemeine Form des Modells mit gemischten Effekten weist der Vektor der Antwortvariablen, y, eine multivariate Normalverteilung mit dem mittleren Vektor Xβ und die folgende Varianz-Kovarianz-Matrix auf:

V(σ²) = V(σ², σ²₁, ... , σ²_c) = σ²I_n + σ²₁Z₁Z'₁ + ... + σ²_cZ_cZ'_c

Dabei gilt Folgendes:

σ² = (σ², σ²₁, ... , σ²_c)'

σ², σ²₁, ... , σ²_c werden als Varianzkomponenten bezeichnet.

Durch Faktorisieren ausgehend von der Varianz kann eine Darstellung von H(θ) gefunden werden, die sich in der Berechnung der Log-Likelihood von Modellen mit gemischten Effekten befindet.

V(σ²) = σ²H(θ) = σ²[I_n + θ₁Z₁Z'₁ + ... + θ_cZ_cZ'_c]

Notation

Begriff	Beschreibung

θ_i	, das Varianzverhältnis des Zufallsterms über der Fehlervarianz

Log-Likelihood

Wenn das Modell einen Zufallsfaktor enthält, ergeben sich die Schätzwerte des unbekannten Parameters standardmäßig aus der Minimierung des zweifachen negativen Werts der beschränkten Log-Likelihood-Funktion. Die Minimierung entspricht der Maximierung der beschränkten Log-Likelihood-Funktion. Minitab minimiert die beschränkte Log-Likelihood-Funktion mit einem iterativen Algorithmus. Die Funktion zur Minimierung lautet:

Notation

Begriff	Beschreibung
H	I_n + θ₁Z₁Z'₁ + ... + θ_cZ_cZ'_c
\|H\|	die Determinante von H
H^-1	die Inverse von H
m_i	die Anzahl der Stufen für den Zufallsterm
	Varianzkomponente für Fehler
I_n	Identitätsmatrix mit n Zeilen und Spalten

Eingeschränkte Maximum-Likelihood-Schätzung (Restricted Maximum Likelihood, REML)

In der Standardeinstellung werden in Minitab Parameterschätzwerte berechnet, die die eingeschränkte Likelihood-Funktion maximieren; dies entspricht dem Minimieren der folgenden Funktion:

Zum Minimieren der Funktion bildet Minitab die Differentiale der Funktion in Bezug auf β, σ² und θ_i und legt die Differentiale auf den Wert 0 fest:

wobei

Die algebraische Umstellung der ersten zwei Gleichungen für eine Auflösung der geschätzten Parameter hinsichtlich der Differentialbildung liefert die folgenden Gleichungen:

Das Derivat in Bezug auf

kann nicht explizit aufgelöst werden für

. Minitab verwendet die Newton-Methode zum Schätzen von

und führt dabei die folgenden Schritte aus:

Verwenden der MINQUE-Methode (quadratische erwartungstreue Schätzung mit minimaler Norm)¹ ² der Varianzkomponenten, um die Anfangswerte von σ² und θ_i zu berechnen.
Schätzen von β und σ² mit den Gleichungen für und .
Ermitteln von θ_i mit der Newton-Methode, um L(β, σ², θ) zu minimieren.
Wiederholen Sie die Schritte 2 und 3 bis zum Erreichen der Konvergenz.

Die konvergierten Lösungen für

sind die Schätzwerte für das Varianzverhältnis. Die Varianzkomponente für den

Zufallsterm wird wie folgt ausgedrückt:

Notation

Begriff	Beschreibung
tr(·)	Spur der Matrix
X'	Transposition von X

¹ Rao, C. R. (1971 a). Estimation of variance covariance components – MINQUE theory. Journal of Multivariate Analysis 1, S. 257-275.

² Rao, C. R. (1971 b). Minimum variance quadratic unbiased estimation of variance components. Journal of Multivariate Analysis 1, S. 445-456.