Methoden und Formeln für ANOVA für balancierte Daten

Das balancierte ANOVA-Modell für drei oder mehr Faktoren stellt eine direkte Erweiterung eines Modells der zweifachen Varianzanalyse dar.

Ein balanciertes Drei-Faktor-ANOVA-Modell mit den Faktoren A, B und C lautet wie folgt:

y_ijkm = μ + α _i+ β _j + γ _k + (αβ)_ij+ (αγ)_ik+ (βγ)_jk+ (αβγ)_ijk+ε_ijkm

Wenn die Faktoren fest sind, gilt Σα_i = 0, Σβ_j = 0, Σγ_k = 0, Σ(αβ)_ij = 0, Σ(αγ)_ik = 0, Σ(βγ)_jk = 0, Σ(αβγ)_ijk = 0 und ε_ijkm sind unabhängig und gemäß N(0, σ²) verteilt.

Wenn die Faktoren zufällig sind, sind α _i, β _j , γ_k, (αβ)_ij, (αγ)_ik, (βγ)_jk, (αβγ)_ijk und ε_ijkm unabhängige Zufallsvariablen. Die Variablen sind normalverteilt mit dem Mittelwert null und Varianzen, die angegeben werden durch V(α_i) = σ²_α, V(β _j) = σ²_β, V(γ_k) = σ²_γ, V[(αβ)_ij] = σ²_αβ, V[(αγ)_jk] = σ²_αγ, V[(βγ)_jk] = σ²_βγ, V(ε_ijkm) = σ².

Das Drei-Faktor-Modell kann auf Modelle mit mehr als drei Faktoren erweitert werden.

Die Summe der quadrierten Distanzen. SS Gesamt gibt die Gesamtstreuung der Daten an. SS (A), SS (B) und SS (C) stellen den Betrag der Streuung des geschätzten Mittelwerts der Faktorstufen um den Gesamtmittelwert dar. Gelegentlich werden diese auch als Summe der Quadrate zwischen Behandlungen bezeichnet. SS(AB), SS(AC), SS(BC) und SS(ABC) stellen den Betrag der Streuung dar, der vom jeweiligen Wechselwirkungsterm erklärt wird. SS Fehler stellt den Betrag der Streuung zwischen dem angepassten Wert und der tatsächlichen Beobachtung dar. Dies wird auch als Fehler innerhalb von Behandlungen bezeichnet. Bei diesen Formeln wird angenommen, dass ein vollständiges Modell angepasst wird. Die Berechnungen lauten wie folgt:

Notation

Begriff	Beschreibung
a	Anzahl der Stufen in Faktor A
b	Anzahl der Stufen in Faktor B
c	Anzahl der Stufen in Faktor C
n	Gesamtzahl der Versuche
	Mittelwert der i-ten Faktorstufe von Faktor A
	Gesamtmittelwert aller Beobachtungen
	Mittelwert der j-ten Faktorstufe von Faktor B
	Mittelwert der k-ten Faktorstufe von Faktor C
	geschätzter Behandlungsmittelwert

Obwohl die Berechnungen für das korrigierte R² negative Werte ergeben können, zeigt Minitab in derartigen Fällen null an.

Notation

Begriff	Beschreibung
	i-ter beobachteter Wert der Antwortvariablen
	i-ter angepasster Wert der Antwortvariablen
	Mittelwert der Antwortvariablen
n	Anzahl der Beobachtungen
p	Anzahl der Terme im Modell

Minitab berechnet nur für Zufallsfaktoren Varianzkomponenten. Die Formeln werden anhand eines Modells mit zwei Zufallsfaktoren veranschaulicht.

Hierbei sind α_i, β_j , (αβ)_ij und ε_ijk unabhängige Zufallsvariablen. Die Variablen sind normalverteilt mit dem Mittelwert null, und die Varianzen werden durch diese Formeln ausgedrückt:

Bei diesen Varianzen handelt es sich um die Varianzkomponenten. Testen Sie in diesem Fall die Hypothese, dass die Varianzkomponenten gleich null sind.

Für ein eingeschränktes gemischtes Modell mit zwei Faktoren wird das Modell wie folgt ausgedrückt:

Hierbei ist α_i ein fester Effekt, β_j ist ein Zufallseffekt, (αβ)_ij, ist ein Zufallseffekt, und ε_ijk ist der Zufallsfehler. Σα_i = 0 und Σ(αβ)_ij = 0 für jedes j. Die Varianzen sind V(β_j) = σ²_β,V[(αβ)_ij] =[(a–1)/a]σ²_αβ und V(ε_ijk) = σ². σ²_β, σ²_αβ und σ² sind Varianzkomponenten. Die Summierung der Wechselwirkungskomponente über den festen Faktor ergibt null, was darauf verweist, dass es sich um das eingeschränkte gemischte Modell handelt.

Für ein uneingeschränktes gemischtes Modell mit einem festen Faktor A und einem Zufallsfaktor B wird das Modell mit folgender Formel beschrieben:

Hierbei sind α_i feste Effekte und β_j, (αβ)_ij sowie ε_ijk nicht korrelierte Zufallsvariablen mit dem Mittelwert null und den folgenden Varianzen:

Bei diesen Varianzen handelt es sich um die Varianzkomponenten. Σα _i = 0 und Σ(αβ)_ij = 0 für jedes j.

Diese Informationen beziehen sich auf balancierte Modelle. Informationen zu nicht balancierten bzw. komplexeren Modellen finden Sie in Montgomery¹ und Neter².

1. D. C. Montgomery (1991). Design and Analysis of Experiments, Third Edition. John Wiley & Sons.
2. J. Neter, W. Wasserman und M. H. Kutner (1985). Applied Linear Statistical Models, Second Edition. Irwin, Inc.

Die Formeln für das erwartete Mittel der Quadrate für ein Modell mit Zufallseffekten und den zwei Faktoren A und B lauten wie folgt:

Die Formeln für das erwartete Mittel der Quadrate für ein eingeschränktes gemischtes Modell mit den zwei Faktoren A (fest) und B (zufällig) lauten wie folgt:

Die Formeln für das erwartete Mittel der Quadrate für ein uneingeschränktes gemischtes Modell mit einem festen Faktor A und einem Zufallsfaktor B lauten wie folgt:

Die allgemeinen Regeln zum Berechnen des erwarteten Mittels der Quadrate und Informationen zu nicht balancierten bzw. komplexeren Modellen finden Sie in Montgomery¹ und Neter².

1. D. C. Montgomery (1991). Design and Analysis of Experiments, Third Edition. John Wiley & Sons.
2. J. Neter, W. Wasserman und M. H. Kutner (1985). Applied Linear Statistical Models, Second Edition. Irwin, Inc.

Notation

Begriff	Beschreibung
b	Anzahl der Stufen in Faktor B
a	Anzahl der Stufen in Faktor A
n	Anzahl der Beobachtungen
σ2	geschätzte Varianz des Modells
	geschätzte Varianz von A
	geschätzte Varianz von B
	geschätzte Varianz von AB
	feste Effekte von A