Methoden und Formeln für zweifaktorielle Designs für normalverteilte Daten in Mittelwertanalyse

Für zweifaktorielle Modelle stellt die Mittelwertanalyse ein Verfahren dar, mit dem ermittelt wird, ob die Wechselwirkungseffekte signifikant sind oder sich die Haupteffekte vom Gesamtmittel unterscheiden. Bei der zweifachen Mittelwertanalyse müssen die Daten balanciert sein.

Formel

Der Durchschnitt der Beobachtungen für einen Faktor auf einer bestimmten Stufe. Minitab stellt den Mittelwert für jede Faktorstufe in der Grafik dar.

Mittelwert von Faktor A auf der i-ten Stufe:
Mittelwert von Faktor B auf der j-ten Stufe:

Notation

Formel

Der Durchschnitt aller Beobachtungen in der Stichprobe. Minitab verwendet das Gesamtmittel als Mittellinie in der Grafik der Haupteffekte.

Notation

Mit den Entscheidungsgrenzen wird angegeben, ob sich die Mittelwerte der Faktorstufen vom Gesamtmittel unterscheiden. Punkte, die jenseits der oberen Entscheidungsgrenze (OEG) oder der unteren Entscheidungsgrenze (UEG) liegen, unterscheiden sich statistisch vom Gesamtmittel.

Die Berechnung der oberen und der unteren Entscheidungsgrenze variiert entsprechend der Anzahl der Stufen des Faktors sowie der Anzahl der Beobachtungen auf jeder Stufe. Die nachfolgenden Formeln zeigen die obere und die untere Entscheidungsgrenze für Faktor A. Wenn Sie die Entscheidungsgrenzen für Faktor B berechnen möchten, ersetzen Sie die spezifischen Terme für Faktor A durch die entsprechenden Terme für Faktor B.

Zweistufiger Faktor

Die obere und die untere Entscheidungsgrenze für Faktor A werden wie folgt ausgedrückt:

• OEG_A = _...+ (0,5) * h_α* Sqrt[(MSE) * (2 / n₁)]
• UEG_A = _...– (0,5) * h_α* Sqrt[(MSE) * (2 / n₁)]

Hierbei ist ha = Absolutwert (t(a / 2; abn – ab), MSE = mittleres Fehlerquadrat (aus einer ANOVA mit den Termen A, B und AB) und n₁= Anzahl der Beobachtungen auf jeder Stufe des Faktors A.

Faktor mit mehr als zwei Stufen

• OEG_A = _...+ h_α* Sqrt[MSE * (a – 1) / (a * n₁)]
• UEG_A = _...– h_α* Sqrt[MSE * (a – 1) / (a * n₁)]

Hierbei ist MSE = mittleres Fehlerquadrat (aus einer ANOVA mit den Termen A, B und AB), a = Anzahl der Faktorstufen in Faktor A und n₁= Anzahl der Beobachtungen auf jeder Stufe des Faktors. Der kritische Wert h_α hängt von Alpha, der Anzahl der dargestellten Mittelwerte und den Freiheitsgraden für den MSE ab. Die Werte von h_α können Sie Tabelle B.1 in Anhang B in Nelson¹ entnehmen.

Für Alpha-Werte außerhalb des Bereichs von 0,001 bis 0,1 werden die Entscheidungsgrenzen wie folgt ausgedrückt:

• OEG_A = _...+ h_α* Sqrt[MSE * (a – 1) / (a * n₁)]
• UEG_A = _...– h_α* Sqrt[MSE * (a – 1) / (a * n₁)]

Hierbei ist MSE = mittleres Fehlerquadrat (aus einer ANOVA mit den Termen A, B und AB), n₁ = Anzahl der Beobachtungen auf jeder Stufe des Faktors und h_α = Absolutwert (t(α2; df); wobei a2 = (1– (1– a )** (1 / a)) / 2 und df = n_T – ab, wobei n_T = Gesamtzahl der Beobachtungen in der Stichprobe.

Die Entscheidungsgrenzen geben an, ob die Wechselwirkung signifikant ist. Punkte, die jenseits der oberen Entscheidungsgrenze (OEG) oder der unteren Entscheidungsgrenze (UEG) liegen, weisen darauf hin, dass die Wechselwirkung statistisch signifikant ist.

Nachfolgend sind die allgemeinen Formeln für die obere und die untere Entscheidungsgrenze für die Wechselwirkung zwischen den Faktoren A und B aufgeführt. Die Terme werden je nach Anzahl der Stufen und Beobachtungen in jedem Faktor unterschiedlich definiert.

• OEG_AB = h_α* Sqrt[MSE * (q / (a * b * n)]
• UEG_AB = –h_α* Sqrt[MSE * (q / (a * b * n)]

Hierbei sind ha = Absolutwert (t(α2, dfe)), a = Anzahl der Stufen in Faktor A, b = Anzahl der Stufen in Faktor B, n = Anzahl der Beobachtungen für jede Wechselwirkung zwischen Faktoren, q = Freiheitsgrade für Wechselwirkungseffekte, (a – 1)(b – 1) und dfe = Freiheitsgrade für Fehler, abn – ab.

Faktoren A und B weisen zwei Stufen auf

• α2 = a / 2

Faktor A weist zwei Stufen und Faktor B mehr als zwei Stufen auf

• α2 = (1 – (1 – a )** (1 / b)) / 2

wobei a = Anzahl der Stufen in Faktor A und b = Anzahl der Stufen in Faktor B.

Faktor A weist mehr als zwei Stufen und Faktor B zwei Stufen auf

• α2 = (1 – (1 – a )** (1 / a)) / 2

wobei a = Anzahl der Stufen in Faktor A und b = Anzahl der Stufen in Faktor B.

Faktoren A und B weisen mehr als zwei Stufen auf

• α2 = (1 – (1 – a )** (1 / a * b)) / 2

wobei a = Anzahl der Stufen in Faktor A und b = Anzahl der Stufen in Faktor B.