Methoden und Formeln für einfaktorielle Designs für normalverteilte Daten in Mittelwertanalyse

Die Mittelwertanalyse ist ein Verfahren, mit dem ermittelt wird, ob sich die Mittelwerte einzelner Faktorstufen vom Gesamtmittel (dem Mittelwert aller Beobachtungen in einem Faktor) unterscheiden. Im Folgenden sind die Schritte aufgeführt, mit denen Minitab ANOM-Ergebnisse für ein einfaches Modell berechnet:

1. Der Mittelwert bei jeder Faktorstufe wird berechnet: y̅_i. (i = 1, …, r).
2. Das Gesamtmittel aller Beobachtungen y... wird berechnet.
3. s_p, ein Schätzwert der Standardabweichung einer Beobachtung, wird berechnet.
4. Der Wert h_α wird ermittelt; dieser Wert entspricht dem für den Test gewählten Signifikanzniveau, und er wird für die obere und untere Entscheidungsgrenze verwendet.
5. Die obere und die untere Entscheidungsgrenze (OEG und UEG) werden berechnet.
6. Die Mittelwerte der einzelnen Faktorstufen mit der oberen und der unteren Referenzlinie sowie die Mittellinie beim Gesamtmittel werden grafisch dargestellt.

Formel

Der Durchschnitt der Beobachtungen auf den einzelnen Faktorstufen. Minitab stellt den Mittelwert für jede Faktorstufe in der Grafik dar.

Notation

Formel

Hierbei handelt es sich um den Durchschnitt aller Beobachtungen für alle Faktorstufen. Minitab verwendet das Gesamtmittel als Mittellinie in der Grafik.

Notation

Notation

Begriff	Beschreibung
yij	Beobachtungen auf der i-ten Faktorstufe
	Mittelwert der Beobachtungen auf der i-ten Faktorstufe
ni	Anzahl der Beobachtungen auf der i-ten Faktorstufe

Hierbei handelt es sich um einen Schätzwert der Streuung für alle Faktorstufen. Die zusammengefasste Standardabweichung wird verwendet, um die Entscheidungsgrenzen zu berechnen.

Formel

Notation

Mit den Entscheidungsgrenzen wird angegeben, ob sich die Mittelwerte der Faktorstufen vom Gesamtmittel unterscheiden. Punkte, die jenseits der oberen Entscheidungsgrenze (OEG) oder der unteren Entscheidungsgrenze (UEG) liegen, unterscheiden sich statistisch vom Gesamtmittel.

Die Berechnung der oberen und der unteren Entscheidungsgrenze variiert entsprechend der Anzahl der Stufen des Faktors sowie der Anzahl der Beobachtungen auf jeder Stufe.

Zwei-Stufen-Faktor mit gleicher Anzahl von Beobachtungen auf jeder Stufe

• OEG = y.. + h_α s_p* Sqrt(1/ n_T)
• UEG = y.. – h_α s_p* Sqrt(1/ n_T)

Hierbei sind h_α = Absolutwert (t(a / 2, n_T – 2)), s_p = zusammengefasste Standardabweichung und n_T = Gesamtzahl der Beobachtungen.

Faktor mit mehr als zwei Stufen und einer gleichen Anzahl von Beobachtungen auf jeder Stufe

• OEG = y.. + h_α s_p* Sqrt[(r–1) / (rn₁)]
• UEG = y.. – h_α s_p* Sqrt[(r–1) / (rn₁)]

Hierbei sind r = Anzahl der Stufen im Faktor und n₁ = Anzahl der Beobachtungen auf jeder Stufe.

Die Freiheitsgrade sind (n₁– 1) * r.

Für Alpha-Werte außerhalb des Bereichs von 0,001 bis 0,1 werden die Entscheidungsgrenzen wie folgt ausgedrückt:

• OEG = y.. + h_α s_p* Sqrt[(n_T – n₁) / (n_T* n₁)]
• UEG = y.. – h_α s_p* Sqrt[(n_T – n₁) / (n_T* n₁)]

Hierbei sind h_α = Absolutwert (t(α2, df) und α2 = (1– (1– a )** (1 / r)) / 2 und df = n_T – r.

Informationen zum Berechnen von h_α für α-Werte zwischen 0,001 und 0,1 finden Sie in Nelson¹.

Faktor mit mindestens zwei Stufen und einer ungleichen Anzahl von Beobachtungen auf jeder Stufe

• OEG_i = y.. + h_α s_p* Sqrt[(n_T – n_i) / (n_T* n_i)]
• UEG_i = y.. – h_α s_p* Sqrt[(n_T – n_i) / (n_T* n_i)]