Die Berechnung des Stichprobenumfangs n und der kritischen Distanz k hängt von der Anzahl der angegebenen Spezifikationsgrenzen sowie davon ab, ob die Standardabweichung bekannt ist.
Einzelne Spezifikationsgrenze und bekannte Standardabweichung
Der Stichprobenumfang wird wie folgt ausgedrückt:
Die kritische Distanz wird wie folgt ausgedrückt:
Dabei gilt Folgendes:
Notation
Begriff
Beschreibung
Z1
(1 – p1) * 100-tes Perzentil aus der Standardnormalverteilung
p1
Annehmbare Qualitätsgrenzlage (AQL)
Z2
(1 – p2) * 100-tes Perzentil aus der Standardnormalverteilung
p2
Rückzuweisende Qualitätsgrenzlage (RQL)
Zα
(1 – α) * 100-tes Perzentil der Standardnormalverteilung
α
Lieferantenrisiko
Zβ
(1 – β ) * 100-tes Perzentil der Standardnormalverteilung
β
Abnehmerrisiko
Einzelne Spezifikationsgrenze und unbekannte Standardabweichung
Die Notation ist dieselbe wie im Abschnitt für eine einzelne Spezifikationsgrenze und eine bekannte Standardabweichung. Der Stichprobenumfang wird wie folgt ausgedrückt:
Die kritische Distanz wird wie folgt ausgedrückt:
Beide Spezifikationsgrenzen und bekannte Standardabweichung
Die im Folgenden nicht definierte Notation ist dieselbe wie im Falle einer einzelnen Spezifikationsgrenze und einer bekannten Standardabweichung. Zuerst berechnet Minitab z:
Anschließend ermittelt Minitab p* aus der Standardnormalverteilung als Fläche des oberen Randbereichs, die z entspricht. Dies ist die minimale Wahrscheinlichkeit für eine fehlerhafte Einheit außerhalb einer der Spezifikationsgrenzen.
Die Methode, mit der Minitab den Stichprobenumfang und die kritische Distanz berechnet, hängt von diesem Wert von p* ab.
Es sei p1 = AQL, p2 = RQL
Wenn 2p* ≤ (p1/ 2), liegen die zwei Spezifikationsgrenzen relativ weit auseinander, und die Berechnungen entsprechen den Plänen mit einzelnen Grenzen.
Wenn p1/ 2 < 2p* ≤ p1, liegen die beiden Spezifikationsgrenzen nicht so weit auseinander; dennoch liegen sie nicht so dicht beieinander, dass die minimale Wahrscheinlichkeit für eine fehlerhafte Einheit für bestimmte Mittelwerte ermittelt werden kann. Minitab bestimmt den Stichprobenumfang und die kritische Distanz iterativ.
Sei
μ = μ0+ m * h, wobei h = σ/100
Sei m = 1, 2, ...300. Für jedes μ wird Folgendes berechnet:
Hierbei ist Φ die kumulative Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Wenn Wahrsch (X<U) + Wahrsch (X>O) extrem nah an p1 liegt, ermittelt Minitab mit dem größeren Wert von Wahrsch (X<U) und Wahrsch (X>O) den Stichprobenumfang und die Annahmezahl.
Angenommen, Wahrsch (X<U) ist der größere Wert, dann sei pU = Wahrsch (X<U).
Der Stichprobenumfang wird wie folgt ausgedrückt:
Die kritische Distanz wird wie folgt ausgedrückt:
Dabei gilt Folgendes:
ZpU = (1 – pU) * 100-tes Perzentil der Standardnormalverteilung.
Wenn wir bereits alle m-Werte verwenden, aber die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten p1 nicht enthalten, dann ist p1 zu groß, was bedeutet, dass der Mittelwert der Messungen weit vom Mittelpunkt des Intervalls [U, O] entfernt ist. In diesem Fall können wir eine Methode für eine einzelne Spezifikationsgrenze und ZpU = Z1verwenden. Z1 hat die gleiche Definition wie für den einzelnen Spezifikationsgrenzfall.
Wenn p1 < 2p* < p2, müssen die Spezifikationsgrenzen des Plans geprüft werden, da die minimale Wahrscheinlichkeit für eine fehlerhafte Einheit, die durch die beiden Spezifikationsgrenzen und die Standardabweichung bestimmt wird, größer als die annehmbare Qualitätsgrenzlage p1 ist. Sie können das Los zurückweisen oder einen Plan mit einer etwas höheren Wahrscheinlichkeit für eine fehlerhafte Einheit als p1 in Erwägung ziehen.
Wenn 2p* ≥ p2, muss das Los zurückgewiesen werden; die minimale Wahrscheinlichkeit für eine fehlerhafte Einheit, die durch die beiden Spezifikationsgrenzen und die Standardabweichung bestimmt wird, ist größer als die rückzuweisende Qualitätsgrenzlage. Sie können das Los zurückweisen, ohne dass Sie hierfür Produkte testen müssen.
Notation
Begriff
Beschreibung
U
untere Spezifikationsgrenze
O
obere Spezifikationsgrenze
σ
bekannte Standardabweichung
Beide Spezifikationsgrenzen und unbekannte Standardabweichung (Standardprozedur)
Die Notation ist dieselbe wie in den vorangegangenen Abschnitten. Minitab legt die kritische Distanz auf den Wert fest, der im Fall der beiden separaten Pläne mit einer einzelnen Grenze gegeben ist:
Der Stichprobenumfang wird wie folgt ausgedrückt:
Wenn n > 2, dann berechnet Minitab die MSD mit den folgenden Schritten1.
Sei
Dann gilt Folgendes:
wobei Beta die kumulative Verteilungsfunktion einer Betaverteilung mit den Formparametern a und b ist. Hier: .
Definieren von
Dann gilt Folgendes:
wobei Beta-1 die inverse kumulative Verteilungsfunktion der Betaverteilung aus Schritt 2 ist.
Wenn n ≤ 2, kann die maximale Standardabweichung (MSD) nicht berechnet werden.
Beide Spezifikationsgrenzen und unbekannte Standardabweichung (Wallis-Prozedur)
Die Notation ist dieselbe wie in den vorangegangenen Abschnitten. Das folgende Verfahren findet sich in Schillings Buch.2
Zunächst legt Minitab die kritische Distanz auf den Wert fest, der im Fall der beiden separaten Pläne mit einer einzelnen Grenze gegeben ist:
Anschließend ermittelt Minitab die Fläche des oberen Randbereichs p* aus der Standardnormalverteilung, die dem Wert von k als Perzentil entspricht, sowie das Perzentil Zp** aus der Standardnormalverteilung, das der Fläche des oberen Randbereichs von p* / 2 entspricht.
Die maximale Standardabweichung (MSD) wird wie folgt ausgedrückt:
Die geschätzte Standardabweichung wird wie folgt ausgedrückt:
Minitab testet, ob die geschätzte Standardabweichung s kleiner oder gleich der MSD ist.
Wenn die geschätzte Standardabweichung s kleiner oder gleich der MSD ist, gilt für den Stichprobenumfang Folgendes:
Wenn die geschätzte Standardabweichung s nicht kleiner oder gleich der MSD, ist die Standardabweichung zu groß, um die Annahmekriterien zu erfüllen, und Sie müssen das Los zurückweisen.
Notation
Begriff
Beschreibung
Xi
i-ter Messwert
Mittelwert der tatsächlichen Messwerte
Annahmewahrscheinlichkeit
Sei p die Wahrscheinlichkeit für eine fehlerhafte Einheit; diese entspricht dem x-Wert eines Punkts auf einer OC-Kurve.
Einzelne Spezifikationsgrenze und bekannte Standardabweichung
Einzelne untere Spezifikationsgrenze und bekannte Standardabweichung
Wahrsch (X < U) = p.
Einzelne obere Spezifikationsgrenze und bekannte Standardabweichung
Wahrsch (X > U) = p.
Einzelne Spezifikationsgrenze und unbekannte Standardabweichung
Beide Spezifikationsgrenzen und bekannte Standardabweichung
Zuerst berechnet Minitab z
Anschließend ermittelt Minitab p* aus der Standardnormalverteilung als Fläche des oberen Randbereichs, die z entspricht. Dies ist die minimale Wahrscheinlichkeit für eine fehlerhafte Einheit außerhalb einer der Spezifikationsgrenzen.
Die Methode, mit der Minitab die Annahmewahrscheinlichkeit berechnet, hängt von diesem Wert von p* ab.
Sei p1 = AQL, p2 = RQL
Wenn 2p* ≤ (p1/ 2), liegen die zwei Spezifikationen relativ weit auseinander, und die Berechnungen für Stichprobenumfang und kritische Distanz folgen den Plänen mit einzelnen Grenzen.
Wenn p1/ 2 < 2p* ≤ p1, liegen die beiden Spezifikationsgrenzen nicht so weit auseinander; dennoch liegen sie nicht so dicht beieinander, dass die minimale Wahrscheinlichkeit für eine fehlerhafte Einheit für bestimmte Mittelwerte ermittelt werden kann.
Minitab ermittelt für jeden gegebenen Wert von p den Mittelwert μ der Messwerte; hierbei wird ein Algorithmus für Gittersuchvorgänge verwendet. Dann gilt Folgendes:
Beide Spezifikationsgrenzen und unbekannte Standardabweichung
Wenn sowohl eine obere als auch eine untere Spezifikationsgrenze vorhanden sind, die Standardabweichung jedoch unbekannt ist, verwendet Minitab die OC-Kurve für den Plan mit einer einzelnen Grenze, um eine Approximation des Falls mit beiden Spezifikationsgrenzen zu berechnen. Die für einen Plan mit einer einzelnen Spezifikationsgrenze mit gegebenen Werten für p1, p2, α und β abgeleitete OC-Kurve ist die Untergrenze für das Band von OC-Kurven für einen Plan mit beiden Spezifikationsgrenzen mit denselben Werten für p1, p2, α und β, und bei den meisten praktischen Anwendungen kann sie als OC-Kurve für den Plan mit beiden Spezifikationsgrenzen verwendet werden. Weitere Informationen finden Sie in Duncan1.
Duncan (1986). Quality Control and Industrial Statistics, 5th Edition.
Notation
Begriff
Beschreibung
n
Stichprobenumfang
k
kritische Distanz
σ
bekannte Standardabweichung
Zp
(1 – p)-tes Perzentil aus der Standardnormalverteilung
Φ
kumulative Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
T
nicht zentrale t-Verteilung mit Freiheitsgraden = n – 1 und dem Nichtzentralitätsparameter
U
untere Spezifikationsgrenze
O
obere Spezifikationsgrenze
Rückweisewahrscheinlichkeit
Die Rückweisewahrscheinlichkeit (Pr) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Los gemäß einem bestimmten Plan für die Stichprobenprüfung und einem bestimmten Anteil fehlerhafter Einheiten im Eingangslos zurückgewiesen wird. Sie beträgt einfach 1 minus Annahmewahrscheinlichkeit.
Pr = 1 – Pa
Dabei gilt Folgendes:
Pa = Annahmewahrscheinlichkeit
Durchschlupf (AOQ)
Der Durchschlupf stellt das Qualitätsniveau des Produkts nach der Prüfung dar. Der Durchschlupf variiert mit dem Anteil fehlerhafter Einheiten im Eingangslos.
Notation
Begriff
Beschreibung
Pa
Annahmewahrscheinlichkeit
p
Anteil fehlerhafter Einheiten im Eingangslos
N
Losumfang
n
Stichprobenumfang
Durchschnittliche Gesamtprüfung (ATI)
Die durchschnittliche Gesamtprüfung stellt die durchschnittliche Anzahl von Prüfeinheiten auf einem bestimmten Eingangsqualitätsniveau und bei einer bestimmten Annahmewahrscheinlichkeit dar.
Notation
Begriff
Beschreibung
Pa
Annahmewahrscheinlichkeit
N
Losumfang
n
Stichprobenumfang
Annahmebereich (AR) - Standardprozedur
Der Annahmebereich wird nur berechnet, wenn beide Spezifikationsgrenzen angegeben sind und die Standardabweichung unbekannt ist. Im Abschnitt zum Stichprobenumfang und zur kritischen Distanz finden Sie Definitionen für n und k sowie die Notation für die Gleichungen.
In der Darstellung des Annahmebereichs gibt die x-Achse den Mittelwert der Stichprobe und die y-Achse die Standardabweichung der Stichprobe an. Der Annahmebereich wird von den drei Funktionen der Standardabweichung der Stichprobe, des Mittelwerts der Stichprobe und der maximalen Standardabweichung (MSD) gebildet. Für Mittelwerte der Stichprobe, bei denen die Standardabweichung der Stichprobe die MSD übersteigt, stellt die Obergrenze des Annahmebereichs die MSD dar.
Wenn die Werte nahe an der oberen oder unteren Spezifikationsgrenze liegen, wird der Annahmebereich von diesen beiden Funktionen begrenzt:
Wenn sich der Mittelwert der Stichprobe der Mitte der Spezifikationsgrenzen annähert, werden die Koordinaten der Obergrenze des Annahmebereichs mit folgenden Schritten berechnet:
Sei .
Dann wobei Beta die kumulative Verteilungsfunktion einer Betaverteilung mit den Formparametern α und b ist. .
Definieren Sie Paare der Proportionen p01 und p02, die p02 + p01 = p* erfüllen
Dann
wobei Beta-1 die inverse kumulative Verteilungsfunktion der Betaverteilung aus Schritt 2 ist.
Für entsprechen die Koordinaten des Mittelwerts und der Standardabweichung folgenden Gleichungen:
Akzeptanzbereich (AR) – Wallis-Verfahren
Die folgenden Berechnungen gelten für den Fall, dass die Analyse beide Spezifikationen aufweist, die Standardabweichung jedoch unbekannt ist. Das Verfahren findet sich in Schillings Buch.2
In diesem Diagramm zeigt die x-Achse die Werte des Stichprobenmittelwerts () und die y-Achse zeigt Werte der Standardabweichung an. Die folgenden Linien bilden in Kombination mit der x-Achse ein Akzeptanzdreieck.
Die gestrichelte Linie und die x-Achse bilden einen genaueren Bereich. Verwenden Sie die folgende Schritte, um die gestrichelte Linie zu bilden.
Der Wert p* sei die Fläche des oberen Randbereichs aus der Standardnormalverteilung mit der kritischen Distanz als Perzentil: P(Z > k).
Wählen Sie Werte für p01 und p02 aus, die p02 + p01 = p* erfüllen:
p01 = (p* / 100) * h
p02 = (p* / 100) * (100 – h)
wobei h die Werte 1 bis 00 annimmt.
Verwenden Sie die folgenden Gleichungen, um die X- und Y-Koordinaten zu definieren:
Notation
Begriff
Beschreibung
U
Untere Spezifikationsgrenze
O
Obere Spezifikationsgrenze
k
kritische Distanz
Zp01
(1 – p01)*100-tes Perzentil aus der Standardnormalverteilung
Zp02
(1 – p02)*100-tes Perzentil aus der Standardnormalverteilung
p01
(p* / 100) * h
p02
(p* / 100) * (100 – h)
1 Duncan, A. J. (1986). Quality Control and Industrial Statistics (5th ed.). Homewood, Ill: Irwin.
2 Schilling and Neubauer (2009). Acceptance Sampling in Quailty Control (2nd ed.)
.
.
wobei Beta die kumulative Verteilungsfunktion einer Betaverteilung mit den Formparametern α und b ist. 
.
entsprechen die Koordinaten des Mittelwerts und der Standardabweichung folgenden Gleichungen:
) und die y-Achse zeigt Werte der Standardabweichung an. Die folgenden Linien bilden in Kombination mit der x-Achse ein Akzeptanzdreieck.
