Verteilungen für Anpassungslinien

Verwenden Sie die Exponentialverteilung, um die Zeit zwischen Ereignissen in einem stetigen Poisson-Prozess zu modellieren. Es wird davon ausgegangen, dass unabhängige Ereignisse mit einer konstanten Rate auftreten.

Diese Verteilung dient einer Vielzahl von Anwendungen, beispielsweise für Zuverlässigkeitsanalysen für Produkte und Systeme, Warteschlangentheorie und Markov-Ketten.

Die Exponentialverteilung mit 2 Parametern wird durch ihren Skalenparameter und ihren Schwellenwertparameter definiert. Der Schwellenwertparameter θ, sofern er positiv ist, verschiebt die Verteilung um die Entfernung θ nach rechts. Angenommen, Sie möchten den Ausfall eines Systems mit θ = 5 untersuchen. Dies bedeutet, dass die Ausfälle frühestens nach einer Betriebsdauer von 5 Stunden auftreten. In der folgenden Grafik ist der Schwellenwertparameter θ gleich 5, und er verschiebt die Verteilung um 5 Einheiten nach rechts.

Für die Exponentialverteilung mit 1 Parameter ist der Schwellenwert 0, und die Verteilung wird durch ihren Skalenparameter definiert. Bei der Exponentialverteilung mit 1 Parameter ist der Skalenparameter gleich dem Mittelwert.

Verwenden Sie die Gamma-Verteilung zum Modellieren positiver Datenwerte, die rechtsschief und größer als 0 sind. Die Gamma-Verteilung kommt häufig in Zuverlässigkeits- und Lebensdaueranalysen zur Anwendung. Mit der Gamma-Verteilung können Sie zum Beispiel die Zeit bis zum Ausfall einer elektrischen Komponente beschreiben. Die meisten elektrischen Komponenten eines bestimmten Typs weisen etwa dieselbe Ausfallzeit auf, einige fallen hingegen erst nach einer langen Zeit aus.

Die Gamma-Verteilung ist eine stetige Verteilung, die durch ihre Form- und Skalenparameter definiert ist. Die Gamma-Verteilung mit 3 Parametern ist durch ihre Form-, Skalen- und Schwellenwertparameter definiert. In der folgenden Grafik ist die Gamma-Verteilung z. B. durch verschiedene Form- und Skalenwerte bei einem festen Schwellenwert von 0,0 definiert. Beachten Sie, dass die meisten Werte in einer Gamma-Verteilung nah beieinander liegen, einige Werte jedoch im oberen Randbereich liegen.

Wenn der Formparameter eine ganze Zahl ist, wird die Gamma-Verteilung gelegentlich auch als Erlang-Verteilung bezeichnet. Die Erlang-Verteilung wird oft in Anwendungen der Warteschlangentheorie verwendet.

Verwenden Sie die logistische Verteilung, um Datenverteilungen zu modellieren, deren Randbereiche länger und deren Kurtosis größer sind als bei der Normalverteilung.

Verwenden Sie die loglogistische Verteilung, wenn der Logarithmus der Variablen logistisch verteilt ist. Die loglogistische Verteilung wird z. B. in Wachstumsmodellen und zum Modellieren binärer Antwortvariablen in Bereichen wie Biostatistik und Wirtschaft verwendet.

Bei der loglogistischen Verteilung handelt es sich um eine stetige Verteilung, die durch ihre Skalen- und Lageparameter definiert ist. Die loglogistische Verteilung mit 3 Parametern wird durch ihre Skalen-, Lage- und Schwellenwertparameter definiert.

Die folgende Grafik zeigt die loglogistische Verteilung mit der Skala 1,0, der Lage 0,0 und dem Schwellenwert 0,0.

Die loglogistische Verteilung ist auch als Fisk-Verteilung bekannt.

Verwenden Sie die lognormale Verteilung, wenn der Logarithmus der Zufallsvariablen normalverteilt ist. Diese Verteilung wird verwendet, wenn Zufallsvariablen größer als 0 sind. Die lognormale Verteilung wird z. B. für Zuverlässigkeitsanalysen und im Finanzbereich verwendet, beispielsweise zur Modellierung des Aktienverhaltens.

Bei der lognormalen Verteilung handelt es sich um eine stetige Verteilung, die durch ihre Lage- und Skalenparameter definiert wird. Die lognormale Verteilung mit 3 Parametern wird durch ihre Lage-, Skalen- und Schwellenwertparameter definiert.

Die Form der lognormalen Verteilung ähnelt der der loglogistischen und der Weibull-Verteilung. Die folgende Grafik stellt z. B. die lognormale Verteilung mit der Skala 1,0, der Lage 0,0 und dem Schwellenwert 0,0 dar.

Bei der Normalverteilung handelt es sich um eine stetige Verteilung, die durch den Mittelwert (μ) und die Standardabweichung (σ) definiert ist. Der Mittelwert ist der Gipfel bzw. das Zentrum der glockenförmigen Kurve. Die Standardabweichung bestimmt die Streuung der Verteilung.

Im folgenden Diagramm einer Normalverteilung liegen z. B. ca. 68 % der Beobachtungen innerhalb von +/-1 Standardabweichung vom Mittelwert, 95 % innerhalb von +/-2 Standardabweichungen vom Mittelwert (durch dein eingefärbten Bereich gezeigt) und 99,7 % innerhalb von +/-3 Standardabweichungen vom Mittelwert.

Die Normalverteilung ist die am häufigsten verwendete statistische Verteilung, da sich bei vielen physikalischen, biologischen und sozialen Untersuchungen natürlicherweise eine angenäherte Normalverteilung ergibt. Bei vielen statistischen Analysen wird davon ausgegangen, dass die Daten aus einer annähernd normalverteilten Grundgesamtheit stammen.

Die Verteilungen des größten und des kleinsten Extremwerts sind eng miteinander verwandt. Wenn z. B. x eine Verteilung des größten Extremwerts aufweist, dann weist –x eine Verteilung des kleinsten Extremwerts auf und umgekehrt.

Verteilung des kleinsten Extremwerts

Die Verteilung des kleinsten Extremwerts wird durch ihre Lage- und Skalenparameter definiert. Verwenden Sie die Verteilung des kleinsten Extremwerts zum Modellieren des Minimums einer Verteilung von Zufallsbeobachtungen. Die Verteilung des kleinsten Extremwerts wird üblicherweise zum Modellieren der Ausfallzeit für ein System verwendet, das ausfällt, sobald seine schwächste Komponente ausfällt. Mit der Verteilung des kleinsten Extremwerts können Extremphänomene beschrieben werden, z. B. die Tiefsttemperatur und die Niederschlagsmenge während einer Trockenperiode. Die Verteilung des kleinsten Extremwerts weist eine nach links gerichtete Schiefe auf. So ist die Verteilung der Bruchfestigkeit einer Kette z. B. oft linksschief, weil die Kette bricht, wenn das schwächste Glied bricht. In dieser Verteilung liegen einige schwache Stichproben auf der linken Seite, die festen Stichproben überwiegen jedoch und liegen im oberen Randbereich.

Verteilung des größten Extremwerts

Die Verteilung des größten Extremwerts wird durch ihre Lage- und Skalenparameter definiert. Verwenden Sie die Verteilung des größten Extremwerts zum Modellieren des Maximums einer Verteilung von Zufallsbeobachtungen. Mit der Verteilung des größten Extremwerts können Extremphänomene beschrieben werden, z. B. extreme Windgeschwindigkeiten und große Versicherungsschäden. Die Verteilung des größten Extremwerts weist eine nach rechts gerichtete Schiefe auf. Beispielsweise zeigt die Verteilung des Wasserstands in einem Fluss mit der Zeit häufig eine Schiefe nach rechts. Einige wenige Stichproben mit extremen Wasserständen liegen auf der rechten Seite, ein Großteil der Wasserstände jedoch im unteren Randbereich.

Die Weibull-Verteilung ist eine vielseitige Verteilung, die sich zum Modellieren einer Vielzahl an Anwendungen in den Bereichen Technik, medizinische Forschung, Qualitätskontrolle, Finanzen und Klimatologie eignet. Diese Verteilung wird z. B. häufig in Zuverlässigkeitsanalysen verwendet, um Daten zu Ausfallzeiten zu modellieren. Die Weibull-Verteilung wird auch zum Modellieren von schiefen Prozessdaten in Prozessfähigkeitsanalysen verwendet.

Die Weibull-Verteilung wird durch die Form-, Skalen und Schwellenwertparameter beschrieben und wird auch als Weibull-Verteilung mit 3 Parametern bezeichnet. Der Fall, in dem der Schwellenwertparameter null ist, wird als Weibull-Verteilung mit 2 Parametern bezeichnet. Die Weibull-Verteilung mit 2 Parametern ist nur für positive Variablen definiert. Bei einer Weibull-Verteilung mit 3 Parametern sind Nullwerte und negativen Daten zulässig, die Daten für eine Weibull-Verteilung mit 2 Parametern müssen jedoch größer als null sein.

Je nach den Werten der Parameter kann die Weibull-Verteilung verschiedene Formen annehmen.

Effekt des Formparameters

Der Formparameter beschreibt, wie Ihre Daten verteilt sind. Eine Form von 3 ist annähernd eine Normalverteilungskurve. Ein geringer Wert für die Form wie 1 ergibt eine rechtsschiefe Kurve. Ein hoher Wert für die Form wie 10 führt zu einer linksschiefen Kurve.

Effekt des Skalenparameters

Die Skala bzw. die charakteristische Lebensdauer ist das 63,2-te Perzentil der Daten. Die Skala definiert die Position der Weibull-Kurve relativ zum Schwellenwert; dies ist vergleichbar mit der Art, wie der Mittelwert die Position einer Normalverteilungskurve definiert. Eine Skala von 20 gibt beispielsweise an, dass 63,2 % der Geräte in den ersten 20 Stunden nach der Schwellenwertzeit ausfallen werden.

Effekt des Schwellenwertparameters

Der Schwellenwertparameter gibt eine Verschiebung der Verteilung weg vom Nullpunkt an. Ein negativer Schwellenwert verschiebt die Verteilung nach links, und ein positiver Schwellenwert verschiebt die Verteilung nach rechts. Alle Daten müssen größer als der Schwellenwert sein. Die Weibull-Verteilung mit 2 Parametern entspricht einer Weibull-Verteilung mit 3 Parametern, aber mit einem Schwellenwert von 0. Die Weibull-Verteilung (3;100;50) mit 3 Parametern weist beispielsweise die gleiche Form und Streubreite wie die Weibull-Verteilung (3;100) mit 2 Parametern auf, ist jedoch um 50 Einheiten nach rechts verschoben.