Methoden und Formeln für T²-Karte

Daten in Teilgruppen

Wenn die Daten in Teilgruppen erfasst wurden, wird T² wie folgt berechnet:

Dabei gilt Folgendes:

ist der mittlere Vektor von (Mittelwert von x_jk-Werten), der wie folgt berechnet wird:

S = Kovarianzmatrix der Stichprobe

Die Kovarianzmatrix der Stichprobe S wird wie folgt berechnet:

Dabei gilt Folgendes:

Dabei gilt Folgendes:

, die Stichprobenvarianz für das j-te Merkmal in der k-ten Stichprobe, wird wie folgt berechnet:

Dabei gilt Folgendes:

Dabei gilt Folgendes:

, die Kovarianz, =

Der Durchschnitt der S-Matrizen ist ein erwartungstreuer Schätzwert der Varianz, wenn der Prozess beherrscht ist. n muss größer als p sein, und es dürfen keine starken Korrelationen zwischen den Variablen vorliegen, damit die Kovarianzmatrix der Stichprobe nicht singulär ist.

Einzelbeobachtungen

Wenn die Daten als Einzelbeobachtungen erfasst wurden, wird T² wie folgt berechnet:

Dabei gilt Folgendes:

Dabei gilt Folgendes:

Notation

Begriff	Beschreibung
n	Stichprobenumfang
	Vektor des Mittelwerts der Stichprobe
xijk	i-te Beobachtung für das j-te Merkmal in der k-ten Stichprobe
m	Anzahl der Stichproben

Minitab stellt die T²-Statistik auf einer Regelkarte dar. Wenn ein dargestellter Punkt außerhalb der Eingriffsgrenzen liegt, ist der Prozess an dem betreffenden Punkt außer Kontrolle. Ziehen Sie die Tabelle und die Beispielgleichungen als Referenz für die Minitab-Berechnungen hinzu.

Die folgenden Daten stammen aus einem Entwicklungsprozess für eine Reinigungslösung. Die Anteile an Natriumcitrat und Glycerin wirken sich auf die Wirksamkeit der Lösung aus.

1. Berechnen Sie die Teilgruppenmittelwerte für jede Variable, X₁ und X₂. In diesem Fall enthielt jede Teilgruppe vier Stichproben.
2. Wenn Einzelbeobachtungen erfasst wurden, verwendet Minitab diese anstelle der Teilgruppenmittelwerte in allen Berechnungen.
3. Berechnen Sie die Varianzen der Teilgruppen, S_{1 2} und S_{2 2}.
4. Berechnen Sie die Kovarianzen der Teilgruppen, S_{1 2 k}.
5. Berechnen Sie die Mittelwerte der Teilgruppenmittelwerte, die Mittelwerte der Teilgruppenvarianzen und den Mittelwert der Kovarianzen.
6. Legen Sie die Kovarianzmatrix der Stichprobe S und den mittleren Vektor fest.
7. Berechnen Sie T², das angegeben wird durch:

   

Minitab stellt T² auf der T²-Karte dar und vergleicht den Wert mit den Eingriffsgrenzen, um festzustellen, ob einzelne Punkte außer Kontrolle sind.

Die Mittellinie für die T²-Karte liegt bei KX. Die Berechnung von K und X hängt vom maximalen Stichprobenumfang und davon ab, ob Minitab die Kovarianzmatrix aus den Daten schätzt.

Daten in Teilgruppen

Wenn die Daten in Teilgruppen erfasst wurden, wird KX wie folgt berechnet:

Gegebene Kovarianzmatrix

Geschätzte Kovarianzmatrix

Einzelbeobachtungen

Wenn die Daten als Einzelbeobachtungen erfasst wurden, wird KX wie folgt berechnet:

Gegebene Kovarianzmatrix

Geschätzte Kovarianzmatrix

Dabei gilt Folgendes:

Notation

Begriff	Beschreibung
p	Anzahl der Variablen
M	Anzahl der Teilgruppen
N	Stichprobenumfang
	inverse kumulative F-Verteilung mit u Freiheitsgraden des Zählers und v Freiheitsgraden des Nenners
	inverse kumulative Betaverteilung mit dem ersten Formparameter α und dem zweiten Formparameter β

Daten in Teilgruppen

Die obere Eingriffsgrenze wird wie folgt ausgedrückt, wenn Sie keine Parameter angeben:

Die obere Eingriffsgrenze wird wie folgt ausgedrückt, wenn Sie Parameter angeben:

Einzelbeobachtungen

Die obere Eingriffsgrenze wird wie folgt ausgedrückt, wenn Sie keine Parameter angeben:

Dabei gilt Folgendes:

Weitere Informationen finden Sie in Woodall et al.¹

Die obere Eingriffsgrenze wird wie folgt ausgedrückt, wenn Sie Parameter angeben:

Notation

Zerlegte T²-Statistik:

Dabei gilt Folgendes:

Dabei gilt Folgendes:

x_i^{(p − 1)} ist der zerlegte mittlere Vektor

S_xx ist die (p – 1) × (p – 1)-Haupt-Teilmatrix von S

T²_{p|1,..., p−1} ist eine Approximation, die sich entsprechend den Phasen und dem Vorhandensein von Teilgruppen oder Einzelbeobachtungen unterscheidet:

Phase 1 für Daten in Teilgruppen:

Phase 2 für Daten in Teilgruppen:

Phase 1 für Einzelbeobachtungen:

Phase 2 für Einzelbeobachtungen:

Minitab berechnet die Eingriffsgrenzen für Phase 1, wenn Sie keine Parameterschätzwerte angeben, und für Phase 2, wenn Sie Parameterschätzwerte angeben.

In Mason et al.² finden Sie weitere Informationen zur zerlegten T²-Statistik.

Notation

Box-Cox-Formel

Wenn Sie eine Box-Cox-Transformation ausführen, transformiert Minitab die ursprünglichen Datenwerte (Y_i) entsprechend der folgenden Formel:

wobei λ den Parameter für die Transformation darstellt. Minitab erstellt dann eine Regelkarte der transformierten Datenwerte (W_i). Weitere Informationen dazu, wie Minitab den optimalen Wert für λ auswählt, finden Sie unter Methoden und Formeln für Box-Cox-Transformation.

Gängige λ-Werte

Die folgende Tabelle zeigt einige gängige λ-Werte und deren Transformationen.

λ	Transformation
2
0,5
0
−0,5
−1