Methoden und Formeln für die erwartete Leistung (innerhalb) in Prozessfähigkeitsanalyse (normal)

PPM < USG für erwartete Leistung (innerhalb)

Sowohl die Anzahl der Teile pro Million unter der unteren Spezifikationsgrenze (PPM < USG) als auch der Prozentsatz unter der unteren Spezifikationsgrenze (% < USG) ergeben sich aus der Wahrscheinlichkeit, dass ein Teil unter der Spezifikationsgrenze liegt (P(x < USG)).

PPM < USG und % < USG sind Vielfache der Wahrscheinlichkeit:

Beidseitige Konfidenzintervalle

Die Konfidenzintervalle für P(x < USG) werden durch folgende Formeln angegeben:

Dabei gilt Folgendes:

Die Konfidenzintervalle für PPM < USG und % < USG werden durch Multiplikation der Konfidenzintervalle für die Wahrscheinlichkeit mit einer Konstanten ermittelt.

PPM

%

Einseitige Konfidenzgrenze

Für eine einseitige Grenze gelten folgende Berechnungen:

Minitab löst die folgende Gleichung, um p1 zu ermitteln:

Dabei gilt Folgendes:

Notation

Notation

BegriffBeschreibung
USGuntere Spezifikationsgrenze
OSGobere Spezifikationsgrenze
UGUntergrenze
OGObergrenze
kumulative Verteilungsfunktion (CDF) einer Standardnormalverteilung
inverse kumulative Verteilungsfunktion einer Standardnormalverteilung
(1 – α/2)-tes Perzentil der Standardnormalverteilung
αAlpha für das Konfidenzniveau
Prozessmittelwert (aus den Stichprobendaten geschätzt oder ein historischer Wert)
sStandardabweichung innerhalb der Teilgruppen
NGesamtzahl der Messwerte
υFreiheitsgrade für s
Zufallsvariable, die eine nicht zentrale t-Verteilung mit Freiheitsgraden und dem Nichtzentralitätsparameter δ aufweist

PPM > OSG für erwartete Leistung (innerhalb)

Sowohl die Anzahl der Teile pro Million über der oberen Spezifikationsgrenze (PPM > OSG) als auch der Prozentsatz über der oberen Spezifikationsgrenze (% > OSG) ergeben sich aus der Wahrscheinlichkeit, dass ein Teil über der Spezifikationsgrenze liegt (P(x > OSG)).

PPM > OSG und % > OSG sind Vielfache der Wahrscheinlichkeit:

Beidseitige Konfidenzintervalle

Die Konfidenzintervalle für P(x > OSG) werden durch folgende Formeln angegeben:

Dabei gilt Folgendes:

Die Konfidenzintervalle für PPM > OSG und % > OSG werden durch Multiplikation der Konfidenzintervalle für die Wahrscheinlichkeit mit einer Konstanten ermittelt.

PPM

%

Einseitige Konfidenzgrenze

Für eine einseitige Grenze gelten folgende Berechnungen:

Minitab löst die folgende Gleichung, um p1 zu ermitteln:

Dabei gilt Folgendes:

Notation

BegriffBeschreibung
OSGobere Spezifikationsgrenze
PPMTeile pro Million
UGUntergrenze
OGObergrenze
kumulative Verteilungsfunktion (CDF) einer Standardnormalverteilung
inverse kumulative Verteilungsfunktion einer Standardnormalverteilung
(1 – α/2)-tes Perzentil der Standardnormalverteilung
αAlpha für das Konfidenzniveau
Prozessmittelwert (aus den Stichprobendaten geschätzt oder ein historischer Wert)
sStandardabweichung innerhalb der Teilgruppen
NGesamtzahl der Messwerte
υFreiheitsgrade für s
Zufallsvariable, die eine nicht zentrale t-Verteilung mit Freiheitsgraden und dem Nichtzentralitätsparameter δ aufweist

PPM gesamt für erwartete Leistung (innerhalb)

Die auf der Grundlage der Streuung innerhalb der Teilgruppen erwartete Anzahl von Teilen pro Million, die außerhalb der Spezifikationsgrenzen liegen, beträgt:

Notation

BegriffBeschreibung
PPMTeile pro Million
USGUntere Spezifikationsgrenze
OSGObere Spezifikationsgrenze
Φ (X) Kumulative Verteilungsfunktion (CDF) einer Standardnormalverteilung
Durchschnitt der Beobachtungen
sStandardabweichung innerhalb von Teilgruppen

Konfidenzintervalle für PPM gesamt für erwartete Leistung (innerhalb), wenn USG und OSG bekannt sind

Sowohl die Gesamtzahl der Teile pro Million (PPM), die außerhalb der Spezifikationsgrenze liegen, als auch der Prozentsatz, der außerhalb der Spezifikationsgrenze liegt, ergeben sich aus der Wahrscheinlichkeit, dass ein Teil außerhalb der Spezifikationsgrenzen liegt.

Beidseitige Konfidenzintervalle

Die Ober- und die Untergrenze für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teil außerhalb der Spezifikation liegt, werden anhand der folgenden Formeln berechnet:

Dabei gilt Folgendes:

Zum Berechnen von werden die Parameterschätzwerte aus der Stichprobe eingesetzt in die Formel für :

Dabei gilt Folgendes:

Die Grenzen für PPM gesamt außerhalb der Spezifikation sowie für den Gesamtprozentsatz außerhalb der Spezifikation ergeben sich aus der Multiplikation der Grenzen für die Wahrscheinlichkeit mit einer Konstanten.

PPM

%

Einseitige Konfidenzgrenze

Die Obergrenze für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teil außerhalb der Spezifikation liegt, wird anhand der folgenden Formel berechnet:

wobei und dieselben sind wie für ein beidseitiges Intervall.

Die Obergrenze für PPM gesamt außerhalb der Spezifikation sowie für den Gesamtprozentsatz außerhalb der Spezifikation ergibt sich aus der Multiplikation der Grenze für die Wahrscheinlichkeit mit einer Konstanten.

PPM

%

Notation

BegriffBeschreibung
USGuntere Spezifikationsgrenze
OSGobere Spezifikationsgrenze
PPMTeile pro Million
UGUntergrenze
OGObergrenze
kumulative Verteilungsfunktion (CDF) einer Standardnormalverteilung
inverse kumulative Verteilungsfunktion einer Standardnormalverteilung
(1 – α/2)-tes Perzentil der Standardnormalverteilung
αAlpha für das Konfidenzniveau
Prozessmittelwert (aus den Stichprobendaten geschätzt oder ein historischer Wert)
sStandardabweichung innerhalb der Teilgruppen
NGesamtzahl der Messwerte
υFreiheitsgrade für s
Zufallsvariable, die eine nicht zentrale t-Verteilung mit Freiheitsgraden und dem Nichtzentralitätsparameter δ aufweist

Konfidenzintervalle für PPM gesamt für erwartete Leistung (innerhalb) für einen Prozess mit einer Spezifikationsgrenze

Für einen Prozess mit nur einer unteren Spezifikationsgrenze (USG) ist das Konfidenzintervall für PPM gesamt oder % gesamt außerhalb der Spezifikation gleich dem Konfidenzintervall für PPM < USG oder % < USG. Informationen dazu finden Sie im Abschnitt „PPM < USG für erwartete Leistung (innerhalb)“.

Für einen Prozess mit nur einer oberen Spezifikationsgrenze (OSG) ist das Konfidenzintervall für PPM gesamt oder % gesamt außerhalb der Spezifikation gleich dem Konfidenzintervall für PPM > OSG oder % > OSG. Informationen dazu finden Sie im Abschnitt „PPM > OSG für erwartete Leistung (innerhalb)“.

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