Methoden und Formeln für die Konkordanzmaße für Kreuztabelle und Chi-Quadrat-Test

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Anzahl konkordanter und diskordanter Paare

Ein Paar ist konkordant, wenn die Beobachtung, die bezüglich Variable x höher eingestuft wird, auch bezüglich Variable y höher eingestuft wird. Das Paar ist diskordant, wenn die Beobachtung, die bezüglich Variable x höher eingestuft wird, bezüglich Variable y niedriger eingestuft wird. Das Paar ist gebunden, wenn die Versuchspersonen dieselbe Klassifizierung bezüglich x und/oder y aufweisen.

Formel

Notation

BegriffBeschreibung
nij Beobachtungen in der Zelle, die der i-ten Zeile und der j-Spalte entspricht

Gamma

Das Goodman-Kruskal-Gamma ist ein Maß der Assoziation zwischen den ordinalen Variablen. Eine perfekte Assoziation besteht, wenn |γ| = 1. Wenn x und y unabhängig sind, ist γ = 0.

Formel

Notation

BegriffBeschreibung
C Anzahl der konkordanten Paare = Σi<kΣj<l nij nkl
D Anzahl der diskordanten Paare = Σi<kΣj>l nij nkl
nij Beobachtungen in der Zelle, die der i-ten Zeile und der j-Spalte entspricht

Somers-D

Mit dem Somers-D wird die Stärke und Richtung der Beziehung zwischen zwei ordinalen Variablen gemessen.

Formel

Mit y als Antwortvariable:

Mit x als Antwortvariable:

Notation

BegriffBeschreibung
TX Anzahl der gebundenen Paare bei x =
TY Anzahl der gebundenen Paare bei y =
C Anzahl der konkordanten Paare
D Anzahl der diskordanten Paare
ni+ Anzahl der Beobachtungen in der i-ten Zeile
n+j Anzahl der Beobachtungen in der j-ten Spalte
nij Beobachtungen in der Zelle, die der i-ten Zeile und der j-Spalte entspricht
n++ Gesamtzahl der Beobachtungen

Kendall-Tau-b

Mit dem Kendall-Tau-b wird wie mit dem Gamma die Assoziation zwischen ordinalen Variablen gemessen. Eine Stärke von Kendall-Tau-b als Assoziationsmaß ist, dass gebundene Paare bei der Berechnung berücksichtigt werden. Bei dem Gamma sind gebundene Paaren problematisch, weshalb das Gamma fast immer eine höhere Assoziation als das Tau-b ausweist. Das Tau-b kann Werte von -1,0 bis 1,0 annehmen.

Formel

Notation

BegriffBeschreibung
TX Anzahl der gebundenen Paare bei x = Σi ni+ (ni+– 1) 0,5
TY Anzahl der gebundenen Paare bei y = Σj n+j (n+j– 1) 0,5
C Anzahl der konkordanten Paare = Σi<kΣj<l nij nkl
D Anzahl der diskordanten Paare = Σi<kΣj>l nij nkl
ni+ Anzahl der Beobachtungen in der i-ten Zeile
n+j Anzahl der Beobachtungen in der j-ten Spalte
nij Beobachtungen in der Zelle, die der i-ten Zeile und der j-Spalte entspricht
n++ Gesamtzahl der Beobachtungen
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