Methoden und Formeln für Vorzeichentest, 1 Stichprobe

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p-Wert für die exakte Methode

Minitab verwendet die Binomialverteilung, um den p-Wert für Stichproben mit einem Umfang von bis zu 50 (n ≤ 50) zu berechnen. Für einen Stichprobenumfang n (nachdem alle Beobachtungen ausgeschlossen wurden, die gleich dem Wert des Hypothesen-Medians sind) und eine Wahrscheinlichkeit des Ereignisses von p = 0,5 gemäß der Nullhypothese, hängt die Berechnung des p-Werts von der Alternativhypothese ab.

Alternativhypothese p-Wert
H1: Median > Hypothesen-Median
H1: Median < Hypothesen-Median
H1: Median ≠ Hypothesen-Median

Notation

BegriffBeschreibung
nbeobachtete Anzahl der Datenpunkte, nachdem die Beobachtungen, die gleich dem Wert des Hypothesen-Medians sind, ausgeschlossen wurden
sbeobachtete Anzahl der Datenpunkte, die größer als der Hypothesen-Median sind
SZufallsvariable, die einer Binomialverteilung mit n Versuchen und einer Ereigniswahrscheinlichkeit von 0,5 folgt, B(n; 0,5)
k

p-Wert für die Methode der Normal-Approximation

Minitab verwendet eine Normal-Approximation der Binomialverteilung, um den p-Wert für Stichproben zu berechnen, die größer als 50 (n > 50) sind. Insbesondere heißt dies:

folgt annähernd einer Normalverteilung mit dem Mittelwert 0 und der Standardabweichung 1, N(0;1).

wobei S, die Anzahl der Beobachtungen über dem Median, gemäß der Nullhypothese eine Binomialverteilung mit n Versuchen und p = 0,5 als Erfolgswahrscheinlichkeit aufweist, B(n; 0,5).

Für den p-Wert der Normal-Approximation für die drei Alternativhypothesen wird eine Kontinuitätskorrektur von 0,5 angewendet.

Alternativhypothese p-Wert
H1: Median > Hypothesen-Median
H1: Median < Hypothesen-Median
H1: Median ≠ Hypothesen-Median

Notation

BegriffBeschreibung
nbeobachtete Anzahl der Datenpunkte, nachdem die Beobachtungen, die gleich dem Wert des Hypothesen-Medians sind, ausgeschlossen wurden
sbeobachtete Anzahl der Datenpunkte, die größer als der Hypothesen-Median sind
SZufallsvariable, die eine Binomialverteilung mit n Versuchen und p = 0,5 als Erfolgswahrscheinlichkeit aufweist, B(n; 0,5)
k

Konfidenzintervall

Beim Vorzeichentest bei einer Stichprobe wird nicht immer das angegebene Konfidenzniveau erreicht, da die Teststatistik des Vorzeichentests diskret ist. Daher berechnet Minitab drei Konfidenzintervalle mit unterschiedlicher Präzision.

Verfahren

  1. Minitab ordnet die Beobachtungen so an, dass X(1) < X(2) < ... < X(n) gilt, wobei X(i) die i-kleinste Beobachtung darstellt.
  2. Für das angegebene Konfidenzniveau (γ) ist das erste Intervall das nächstgelegene genaue Intervall mit Konfidenz ≤ γ. Das dritte Intervall ist das nächstgelegene genaue Intervall mit Konfidenz ≥ γ. Sei d die größte ganze Zahl, bei der Folgendes gilt:
    • P (B < d) < (1 – γ) / 2.

    B weist eine Binomialverteilung mit den Parametern Stichprobenumfang n und Wahrscheinlichkeit des Ereignisses p = 0,5 auf.

  3. Das erste Intervall erstreckt sich von X(d + 1) bis X(nd), und das dritte Intervall erstreckt sich von X(d ) bis X(nd + 1).
  4. Minitab berechnet das mittlere Konfidenzintervall durch ein Verfahren der nichtlinearen Interpolation (NLI), das von Hettmansperger und Sheather1 entwickelt wurde. Seien γd + 1 das Konfidenzniveau des ersten Intervalls und γd das Konfidenzniveau des dritten Intervalls.

    Der untere Endpunkt des Interpolationsintervalls wird durch folgende Formel angegeben:

    • X(d) + λ (X(d + 1)X(d))

    Der obere Endpunkt wird durch folgende Formel angegeben:

    • X(nd + 1)λ (X(nd + 1) – X(nd))
1 T. P. Hettmansperger und S. J. Sheather (1986). „Confidence Intervals Based on Interpolated Order Statistics“, Statistics and Probability Letters, 4(2), S. 75-79.
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