Methoden und Formeln für Test von Anteilen, 2 Stichproben

Wählen Sie die gewünschte Methode oder Formel aus.

Konfidenzintervall (KI)

Formel

Notation

BegriffBeschreibung
Schätzwert des Anteils der ersten Grundgesamtheit
Schätzwert des Anteils der zweiten Grundgesamtheit
n1 Anzahl der Versuche in der ersten Stichprobe
n2 Anzahl der Versuche in der zweiten Stichprobe
zα/2 inverse kumulative Wahrscheinlichkeit der Standardnormalverteilung bei 1 – α/2
α 1 – Konfidenzniveau/100

Test mit Normal-Approximation

Die Berechnung der Teststatistik Z hängt von der Methode zum Schätzen von p ab.

Separate Schätzwerte von p
In der Standardeinstellung verwendet Minitab separate Schätzwerte von p für jede Grundgesamtheit und berechnet Z wie folgt:
Zusammengefasster Schätzwert von p
Wenn die hypothetische Differenz des Tests null ist und Sie einen zusammengefassten Schätzwert von p für den Test verwenden, berechnet Minitab Z wie folgt:
Der p-Wert für jede Alternativhypothese lautet:
  • H1: p1 > p2 : p-Wert = P(Z1z)
  • H1: p1 < p2 : p-Wert = P(Z1 z)
  • H1: p1p2 : p-Wert = 2P(Z1z)

Diese Wahrscheinlichkeiten werden anhand der Standardnormalverteilung berechnet.

Notation

BegriffBeschreibung
p1 tatsächlicher Anteil der Ereignisse in der ersten Grundgesamtheit
p2 tatsächlicher Anteil der Ereignisse in der zweiten Grundgesamtheit
beobachteter Anteil der Ereignisse in der ersten Stichprobe
beobachteter Anteil der Ereignisse in der zweiten Stichprobe
n1 Anzahl der Versuche in der ersten Stichprobe
n2 Anzahl der Versuche in der zweiten Stichprobe
d0 Hypothesendifferenz zwischen dem ersten und dem zweiten Anteil
x1 Anzahl der Ereignisse in der ersten Stichprobe
x2 Anzahl der Ereignisse in der zweiten Stichprobe

Fishers exakter Test

Minitab führt neben einem Test auf der Grundlage einer Normal-Approximation Fishers exakten Test durch. Fishers exakter Test ist für alle Stichprobenumfänge gültig.

Formel

Unter der Nullhypothese weist die Anzahl der Ereignisse in der ersten Stichprobe (x1) eine hypergeometrische Verteilung mit diesen Parametern auf:
  • Größe der Grundgesamtheit = n1 + n2
  • Anzahl der Ereignisse in Grundgesamtheit = x1 + x2
  • Stichprobenumfang = n1
Seien f( ) und F( ) die Dichtefunktion (PDF) und die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) dieser hypergeometrischen Verteilung. Mit „Modalwert“ wird ihr Modalwert angegeben. Die p-Werte für die jeweilige Alternativhypothese lauten wie folgt:
  • H1: p1 < p2

    p-Wert = F(x1)

  • H1: p1 > p2

    p-Wert = 1 – F(x1 – 1)

  • H1: p1 p2
    Es gibt drei Fälle:
    • Fall 1: x1 < Modalwert
      p-Wert = unterer p-Wert + oberer p-Wert
      BegriffBeschreibung
      unterer p-Wert F(x1)
      oberer p-Wert1 – F(y – 1)
      y kleinste ganze Zahl > Modalwert, so dass f(y) <f(x1)
      Hinweis

      Der obere p-Wert kann gleich null sein.

    • Fall 2: x1 = Modalwert

      p-Wert = 1,0

    • Fall 3: x1 > Modalwert
      p-Wert = unterer p-Wert + oberer p-Wert
      BegriffBeschreibung
      oberer p-Wert1 – F(x1 – 1)
      unterer p-Wert F(y)
      y größte ganze Zahl < Modalwert, so dass f(y) < f(x1)
      Hinweis

      Der untere p-Wert kann gleich null sein.

Notation

BegriffBeschreibung
p1 tatsächlicher Anteil der Ereignisse in der ersten Grundgesamtheit
p2 tatsächlicher Anteil der Ereignisse in der zweiten Grundgesamtheit
x1 Anzahl der Ereignisse in der ersten Stichprobe
x2 Anzahl der Ereignisse in der zweiten Stichprobe
n1 Anzahl der Versuche in der ersten Stichprobe
n2 Anzahl der Versuche in der zweiten Stichprobe
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