Methoden und Formeln für Transformationen in Identifikation der Verteilung

Box-Cox-Transformation

Mit der Box-Cox-Transformation wird ein Lambda-Wert geschätzt (wie in der folgenden Tabelle veranschaulicht), der die Standardabweichung einer standardisierten transformierten Variablen minimiert. Die resultierende Transformation ist Yλ, wenn λ ҂ 0; sie ist ln Y, wenn λ = 0.

Bei der Box-Cox-Methode werden viele Arten von Transformationen durchsucht. In der folgenden Tabelle sind einige der gängigsten Transformationen aufgeführt, wobei Y' die Transformation des Y der Daten darstellt.

Lambda-Wert (λ) Transformation

Algorithmus für die Johnson-Transformation

Bei der Johnson-Transformation wird die optimale Verteilung aus drei Familien von Verteilungen ausgewählt, um die Daten so zu transformieren, dass sie einer Normalverteilung folgen.

Johnson-Familie Transformationsfunktion Spannweite
SB γ + η ln [(x – ε) / (λ + ε – x)] η, λ > 0, –∞ < γ < ∞ , –∞ < ε < ∞, ε < x < ε + λ
SL γ + η ln (x – ε) η > 0, –∞ < γ < ∞, –∞ < ε < ∞, ε < x
SU γ + η Sinh–1 [(x – ε) / λ] , wobei

Sinh–1(x) = ln [x + sqrt (1 + x2)]

η, λ > 0, –∞ < γ < ∞, –∞ < ε < ∞, –∞ < x < ∞

Der Algorithmus verwendet folgendes Verfahren:

  1. Es werden nahezu alle potenziellen Transformationsfunktionen des Johnson-Systems berücksichtigt.
  2. Die Parameter in der Funktion werden anhand der in Chou et al.1 beschriebenen Methode geschätzt.
  3. Die Daten werden unter Verwendung der Transformationsfunktion transformiert.
  4. Für die transformierten Daten werden die Anderson-Darling-Statistik und der entsprechende p-Wert berechnet.
  5. Es wird die Transformationsfunktion mit dem größten p-Wert ausgewählt, der größer als der im Dialogfeld Transformieren angegebene p-Wert ist (Standardwert 0,10). Andernfalls ist keine Transformation angemessen.

Notation

BegriffBeschreibung
SBVerteilung der Johnson-Familie mit begrenzter Variable (B)
SLVerteilung der Johnson-Familie mit lognormaler Variable (L)
SUVerteilung der Johnson-Familie mit unbegrenzter Variable (B)

Weitere Informationen zur Johnson-Transformation finden Sie in Chou et al.1 In Minitab wurde der Shapiro-Wilks-Test auf Normalverteilung durch den Anderson-Darling-Test ersetzt.

Weitere Informationen zum Wahrscheinlichkeitsnetz, zu den Perzentilen und deren Konfidenzintervallen finden Sie unter Methoden und Formeln für Verteilungen in Identifikation der Verteilung.

1 Y. Chou, A.M. Polansky und R.L. Mason (1998). „Transforming Nonnormal Data to Normality in Statistical Process Control“, Journal of Quality Technology, 30, April, 133-141.
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