Methoden und Formeln für T²-Karte

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Dargestellte Punkte

Daten in Teilgruppen

Wenn die Daten in Teilgruppen erfasst wurden, wird T2 wie folgt berechnet:

Dabei gilt Folgendes:

ist der mittlere Vektor von (Mittelwert von xjk-Werten), der wie folgt berechnet wird:

S = Kovarianzmatrix der Stichprobe

Die Kovarianzmatrix der Stichprobe S wird wie folgt berechnet:

Dabei gilt Folgendes:

Dabei gilt Folgendes:

, die Stichprobenvarianz für das j-te Merkmal in der k-ten Stichprobe, wird wie folgt berechnet:

Dabei gilt Folgendes:

Dabei gilt Folgendes:

, die Kovarianz, =

Der Durchschnitt der S-Matrizen ist ein erwartungstreuer Schätzwert der Varianz, wenn der Prozess beherrscht ist. n muss größer als p sein, und es dürfen keine starken Korrelationen zwischen den Variablen vorliegen, damit die Kovarianzmatrix der Stichprobe nicht singulär ist.

Einzelbeobachtungen

Wenn die Daten als Einzelbeobachtungen erfasst wurden, wird T2 wie folgt berechnet:

Dabei gilt Folgendes:

Dabei gilt Folgendes:

Notation

BegriffBeschreibung
nStichprobenumfang
Vektor des Mittelwerts der Stichprobe
xijki-te Beobachtung für das j-te Merkmal in der k-ten Stichprobe
mAnzahl der Stichproben

Beispiel für das Berechnen des T2

Minitab stellt die T2-Statistik auf einer Regelkarte dar. Wenn ein dargestellter Punkt außerhalb der Eingriffsgrenzen liegt, ist der Prozess an dem betreffenden Punkt außer Kontrolle. Ziehen Sie die Tabelle und die Beispielgleichungen als Referenz für die Minitab-Berechnungen hinzu.

Die folgenden Daten stammen aus einem Entwicklungsprozess für eine Reinigungslösung. Die Anteile an Natriumcitrat und Glycerin wirken sich auf die Wirksamkeit der Lösung aus.

  Mittelwerte der Teilgruppen Varianzen und Kovarianzen T2-Statistik
Teilgruppe Natriumcitrat (X1) Glycerin (X2) S 1 2 S2 2 S 1 2 k T2
1 125 025 7292 8692 5791 5708
2 625 4 2292 2333 3333 1429
3 4 875 1467 0625 8000 9528
4 2 2 2933 7600 6667 8073
5 25 225 2500 2692 7917 7548
6 4 45 6667 9567 3333 2711
7 275 025 3692 4692 7108 7785
8 6 65 4333 7700 6933 6183
9 625 325 7892 5558 1325 3592
10 3 5 2867 9467 2600 4942
11 25 5 1767 1200 9000 3279
12 1 625 1467 1692 4033 0277
Durchschnitte 7875 2333 7931 9318 3003  
  1. Berechnen Sie die Teilgruppenmittelwerte für jede Variable, X1 und X2. In diesem Fall enthielt jede Teilgruppe vier Stichproben.
  2. Wenn Einzelbeobachtungen erfasst wurden, verwendet Minitab diese anstelle der Teilgruppenmittelwerte in allen Berechnungen.
  3. Berechnen Sie die Varianzen der Teilgruppen, S1 2 und S2 2.
  4. Berechnen Sie die Kovarianzen der Teilgruppen, S1 2 k.
  5. Berechnen Sie die Mittelwerte der Teilgruppenmittelwerte, die Mittelwerte der Teilgruppenvarianzen und den Mittelwert der Kovarianzen.
  6. Legen Sie die Kovarianzmatrix der Stichprobe S und den mittleren Vektor fest.
  7. Berechnen Sie T2, das angegeben wird durch:

Minitab stellt T2 auf der T2-Karte dar und vergleicht den Wert mit den Eingriffsgrenzen, um festzustellen, ob einzelne Punkte außer Kontrolle sind.

Mittellinie

Die Mittellinie für die T2-Karte liegt bei KX. Die Berechnung von K und X hängt vom maximalen Stichprobenumfang und davon ab, ob Minitab die Kovarianzmatrix aus den Daten schätzt.

Daten in Teilgruppen

Wenn die Daten in Teilgruppen erfasst wurden, wird KX wie folgt berechnet:

Gegebene Kovarianzmatrix
Geschätzte Kovarianzmatrix

Einzelbeobachtungen

Wenn die Daten als Einzelbeobachtungen erfasst wurden, wird KX wie folgt berechnet:

Gegebene Kovarianzmatrix
Geschätzte Kovarianzmatrix

Dabei gilt Folgendes:

Notation

BegriffBeschreibung
pAnzahl der Variablen
MAnzahl der Teilgruppen
NStichprobenumfang
inverse kumulative F-Verteilung mit u Freiheitsgraden des Zählers und v Freiheitsgraden des Nenners
inverse kumulative Betaverteilung mit dem ersten Formparameter α und dem zweiten Formparameter β

Eingriffsgrenze

Daten in Teilgruppen

Die obere Eingriffsgrenze wird wie folgt ausgedrückt, wenn Sie keine Parameter angeben:

Die obere Eingriffsgrenze wird wie folgt ausgedrückt, wenn Sie Parameter angeben:

Einzelbeobachtungen

Die obere Eingriffsgrenze wird wie folgt ausgedrückt, wenn Sie keine Parameter angeben:

Dabei gilt Folgendes:

Weitere Informationen finden Sie in Woodall et al.1

Die obere Eingriffsgrenze wird wie folgt ausgedrückt, wenn Sie Parameter angeben:

Notation

BegriffBeschreibung
αfester Wert von 0,00134989803156746
pAnzahl der Merkmale
m

Wenn Sie für Daten in Teilgruppen keine Parameterschätzwerte angeben, ist m gleich der Anzahl der Stichproben. Wenn Sie Parameterschätzwerte angeben, entspricht m der Anzahl der Stichproben, mit denen die Kovarianzmatrix erstellt wird.

Für Einzelwerte ist m die Anzahl der Beobachtungen.

nUmfang der einzelnen Stichproben
FAngabe, dass die F-Verteilung verwendet wird
BAngabe, dass die Betaverteilung verwendet wird

Zerlegte T2-Statistik

Zerlegte T2-Statistik:

Dabei gilt Folgendes:

Dabei gilt Folgendes:

xi(p − 1) ist der zerlegte mittlere Vektor

Sxx ist die (p – 1) × (p – 1)-Haupt-Teilmatrix von S

T2p|1,..., p−1 ist eine Approximation, die sich entsprechend den Phasen und dem Vorhandensein von Teilgruppen oder Einzelbeobachtungen unterscheidet:

Phase 1 für Daten in Teilgruppen:

Phase 2 für Daten in Teilgruppen:

Phase 1 für Einzelbeobachtungen:

Phase 2 für Einzelbeobachtungen:

Minitab berechnet die Eingriffsgrenzen für Phase 1, wenn Sie keine Parameterschätzwerte angeben, und für Phase 2, wenn Sie Parameterschätzwerte angeben.

In Mason et al.2 finden Sie weitere Informationen zur zerlegten T2-Statistik.

Notation

BegriffBeschreibung
mAnzahl der Stichproben
FAngabe, dass die F-Verteilung verwendet wird
BAngabe, dass die Betaverteilung verwendet wird

Methoden und Formeln für Box-Cox

Box-Cox-Formel

Wenn Sie eine Box-Cox-Transformation ausführen, transformiert Minitab die ursprünglichen Datenwerte (Yi) entsprechend der folgenden Formel:

wobei λ den Parameter für die Transformation darstellt. Minitab erstellt dann eine Regelkarte der transformierten Datenwerte (Wi). Weitere Informationen dazu, wie Minitab den optimalen Wert für λ auswählt, finden Sie unter Methoden und Formeln für Box-Cox-Transformation.

Gängige λ-Werte

Die folgende Tabelle zeigt einige gängige λ-Werte und deren Transformationen.
λ Transformation
2
0,5
0
−0,5
−1
1 J. H. Woodall und W. H. Sullivan (1996). „A Comparison of Multivariate Control Charts for Individual Observations“, Journal of Quality Technology, 28 (4), S. 398-408.
2 R. L. Mason, N. D. Tracy und J. C. Young. (1995). „Decomposition of T 2 for Multivariate Control Chart Interpretation“, Journal of Quality Technology , 27, April, S. 99-108.
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