Methoden und Formeln für Konfidenzintervalle und Konfidenzgrenzen in Prozessfähigkeitsanalyse (normal)

Grenzen des Konfidenzintervalls für Cp

Das (1 – α) 100 %-Konfidenzintervall für Cp wird wie folgt berechnet:

wobei ν auf Grundlage der Methode zum Schätzen von σ2innerhalb berechnet wird:

  • Zusammengefasste Standardabweichung: ν = Σ (ni – 1)
  • Mittelwert der gleitenden Spannweite und Median der gleitenden Spannweite: ν ≈ k – R-Spannweite + 1
  • Quadratwurzel von MSSD: ν = k – 1
  • R-quer: ν = 0,9 k (n – 1)
  • S-quer: ν = fn k (n – 1), wobei fn den mit n variierenden Korrekturfaktor darstellt, wie in der folgenden Tabelle veranschaulicht.
n fn
2 0,88
3 0,92
4 0,94
5 0,95
6, 7 0,96
8, 9 0,97
10-17 0,98
18-64 0,99
65- 1,00

Notation

BegriffBeschreibung
χ2α,να-Perzentil der Chi-Quadrat-Verteilung mit v Freiheitsgraden
αAlpha für das Konfidenzniveau
vFreiheitsgrade
σ2innerhalbVarianz innerhalb der Teilgruppen
ni Größe der i-ten Teilgruppe
kAnzahl der Stichproben
R-SpannweiteLänge der gleitenden Spannweite
nDurchschnittlicher Stichprobenumfang (Σ ni / k).

Konfidenzintervall und Konfidenzgrenzen für Z.Bench (innerhalb)

Die Berechnungen für das Konfidenzintervall für Z.Bench hängen davon ab, welche Spezifikationsgrenzen bekannt sind.

  • Wenn sowohl die obere als auch die untere Spezifikationsgrenze bekannt sind, berechnet Minitab nur die Untergrenze für Z.Bench.

    (1 -α) 100%-Untergrenze = Φ-1 (1 - PO)

    Dabei gilt Folgendes:

    Hinweis

    Die Untergrenze wird nur angezeigt, wenn 1 – α größer oder gleich 0,80 ist.

  • Wenn nur die untere Spezifikationsgrenze bekannt ist, berechnet Minitab die Untergrenze und die Obergrenze für Z.Bench.

    (1 – α) 100%-Untergrenze = Φ-1 (1 – PO)

    (1 – α) 100%-Obergrenze = Φ-1 (1 – PU)

    Dabei gilt Folgendes:

  • Wenn nur die obere Spezifikationsgrenze bekannt ist, berechnet Minitab die Untergrenze und die Obergrenze für Z.Bench.

    (1 – α) 100%-Untergrenze = Φ-1 (1 - PO)

    (1 – α) 100%-Obergrenze = Φ-1 (1 - PU)

    Dabei gilt Folgendes:

Notation

BegriffBeschreibung
USGUntere Spezifikationsgrenze
OSGObere Spezifikationsgrenze
αAlpha für das Konfidenzniveau
Φ (X) CDF einer Standardnormalverteilung
NGesamtzahl der Beobachtungen
vFreiheitsgrade, basierend auf der Methode zum Schätzen von σ2innerhalb (weitere Informationen zum Berechnen von ν finden Sie im Thema zu den Grenzen des Konfidenzintervalls für Cp)
γN, 1 -αGamma-Wert, basierend auf dem Alpha-Niveau und der Anzahl der Beobachtungen (weitere Informationen finden Sie im Abschnitt zur Gamma-Tabelle)
Prozessmittelwert (aus den Stichprobendaten geschätzt oder ein historischer Wert)
Standardabweichung innerhalb von Teilgruppen

Grenzen des Konfidenzintervalls für Cpk

Das (1 – α) 100 %-Konfidenzintervall für Cpk wird wie folgt berechnet:

Notation

BegriffBeschreibung
NGesamtzahl der Beobachtungen
αAlpha für das Konfidenzniveau
vFreiheitsgrade, basierend auf der Methode zum Schätzen von σ2innerhalb (weitere Informationen zum Berechnen von v finden Sie im Abschnitt zu den Grenzen des Konfidenzintervalls für Cp)
TolerMultiplikator der Sigma-Toleranz (Standardwert in Minitab ist 6)
Z1-α/21–α/2-Perzentil aus der Standardnormalverteilung

Grenzen des Konfidenzintervalls für Pp

Das (1 – α) 100 %-Konfidenzintervall für Pp wird wie folgt berechnet:

Notation

BegriffBeschreibung
χ2α,να-Perzentil der Chi-Quadrat-Verteilung mit v Freiheitsgraden
αAlpha für das Konfidenzniveau
vFreiheitsgrade (Σni– 1)
ni

Anzahl der Beobachtungen in der i-ten Teilgruppe

Konfidenzintervall und Konfidenzgrenzen für Z.Bench (gesamt)

Die Berechnungen für das Konfidenzintervall für Z.Bench hängen davon ab, welche Spezifikationsgrenzen bekannt sind.

  • Wenn sowohl die obere als auch die untere Spezifikationsgrenze bekannt sind, berechnet Minitab nur die Untergrenze für Z.Bench.

    (1 -α) 100%-Untergrenze = Φ-1 (1 - PO)

    Dabei gilt Folgendes:

    Hinweis

    Die Untergrenze wird nur angezeigt, wenn 1 – α größer oder gleich 0,80 ist.

  • Wenn nur die untere Spezifikationsgrenze bekannt ist, berechnet Minitab die Untergrenze und die Obergrenze für Z.Bench.

    (1 -α) 100%-Untergrenze = Φ-1 (1 - PO)

    (1 – α) 100%-Obergrenze = Φ-1 (1 - PU)

    Dabei gilt Folgendes:

  • Wenn nur die obere Spezifikationsgrenze bekannt ist, berechnet Minitab die Untergrenze und die Obergrenze für Z.Bench.

    (1 -α) 100%-Untergrenze = Φ-1 (1 - PO)

    (1 – α) 100%-Obergrenze = Φ-1 (1 - PU)

    Dabei gilt Folgendes:

Notation

BegriffBeschreibung
USGUntere Spezifikationsgrenze
OSGObere Spezifikationsgrenze
αAlpha für das Konfidenzniveau
Φ (X) CDF einer Standardnormalverteilung
NGesamtzahl der Beobachtungen
vFreiheitsgrade (N – 1)
γN, 1 -αGamma-Wert, basierend auf dem Alpha-Niveau und der Anzahl der Beobachtungen (weitere Informationen finden Sie im Abschnitt zur Gamma-Tabelle)
Prozessmittelwert (aus den Stichprobendaten geschätzt oder ein historischer Wert)
Gesamtstandardabweichung

Grenzen des Konfidenzintervalls für Ppk

Das (1 – α) 100 %-Konfidenzintervall für Ppk wird wie folgt berechnet:

Notation

BegriffBeschreibung
NGesamtzahl der Beobachtungen
αAlpha für das Konfidenzniveau
vFreiheitsgrade (Σni – 1 oder N – 1)
niAnzahl der Beobachtungen in der i-ten Teilgruppe
TolerMultiplikator der Sigma-Toleranz (Standardwert in Minitab ist 6)
Z1α/21 – (α/2)-Perzentil aus der Standardnormalverteilung

Grenze des Konfidenzintervalls für Cpm

Die untere (1 – α) 100 %-Konfidenzgrenze für Cpm wird wie folgt berechnet:

Hinweis

Minitab zeigt für Cpm nur die Untergrenze an.

Notation

BegriffBeschreibung
vFreiheitsgrade, definiert als N ((1 + a2) 2 / (1 + 2a2))
a(Mittelwert – Sollwert)/
αAlpha für das Konfidenzniveau
N Gesamtzahl der Beobachtungen
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