Methoden und Formeln für Einfache exponentielle Glättung

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Einfache exponentielle Glättung

Die geglätteten (prognostizierten) Werte werden mit einem von zwei Verfahren ermittelt: mit einer optimalen Gewichtung, die von Minitab generiert wird, oder mit einer von Ihnen angegebenen Gewichtung.

Optimale ARIMA-Gewichtung

  1. Minitab passt ein ARIMA(0;1;1)-Modell an und speichert die Anpassungen.
  2. Bei den geglätteten Werten handelt es sich um die Anpassungen des ARIMA-Modells, aber um einen Lag versetzt.
  3. Anfänglicher geglätteter Wert (zum Zeitpunkt eins) durch rückwärts gerichtete Prognose:
    • Anfänglicher geglätteter Wert = [geglättet in Periode 2 – α (Daten in Periode 1)] / (1 – α)

Notation

BegriffBeschreibung
1 – α schätzt den GD-Parameter

Angegebene Gewichtung

  1. Minitab verwendet für den anfänglichen geglätteten Wert (zum Zeitpunkt null) den Durchschnitt der ersten sechs (oder N, wenn N < 6) Beobachtungen. Analog dazu verwendet Minitab den Durchschnitt der ersten sechs (oder N, wenn N < 6) Beobachtungen für den anfänglichen angepassten Wert (zum Zeitpunkt eins). Anpassung(i) = geglätteter Wert(i – 1).
  2. Nachfolgende geglättete Werte werden anhand der folgenden Formal berechnet:
    • Geglätteter Wert zum Zeitpunkt t = α (Daten zum Zeitpunkt t) + (1 – α) (geglätteter Wert zum Zeitpunkt t – 1)

Notation

BegriffBeschreibung
α Gewichtung

Prognosen

Der angepasste Wert zum Zeitpunkt t stellt den geglätteten Wert zum Zeitpunkt t – 1 dar. Bei den Prognosen handelt es sich um die angepassten Werte am Prognoseursprung. Wenn Sie eine Prognose für 10 Zeiteinheiten in der Zukunft erstellen, ist der prognostizierte Wert zu jedem Zeitpunkt der angepasste Wert am Ursprung. Für die Glättung werden die Daten bis zum Prognoseursprung verwendet.

Bei der naiven Prognose ist die Prognose für Zeitpunkt t der Datenwert zum Zeitpunkt t – 1. Führen Sie für eine naive Prognose eine einfache exponentielle Glättung mit der Gewichtung eins aus.

Prognosegrenzen

Formel

Basierend auf der mittleren absoluten Abweichung (MAD). Die Formeln für die Unter- und Obergrenze lauten:
  • Obergrenze = Prognose + 1,96 × 1,25 × MAD
  • Untergrenze = Prognose – 1,96 × 1,25 × MAD

Der Wert 1,25 ist eine angenäherte Konstante für die Proportionalität zwischen der Standardabweichung und der mittleren absoluten Abweichung. 1,25 × MAD entspricht also etwa der Standardabweichung.

MAPE

Der mittlere absolute prozentuale Fehler (MAPE) ist eine Maßzahl für die Genauigkeit der angepassten Zeitreihenwerte. MAPE drückt die Genauigkeit als Prozentsatz aus.

Formel

Notation

BegriffBeschreibung
yt tatsächlicher Wert zum Zeitpunkt t
angepasster Wert
n Anzahl der Beobachtungen

MAD

Die mittlere absolute Abweichung (MAD) ist eine Maßzahl für die Genauigkeit der angepassten Zeitreihenwerte. MAD drückt die Genauigkeit in der gleichen Einheit wie die Daten aus, wodurch der Fehlerbetrag leichter erfasst werden kann.

Formel

Notation

BegriffBeschreibung
yt tatsächlicher Wert zum Zeitpunkt t
angepasster Wert
n Anzahl der Beobachtungen

MSD

Die mittlere quadrierte Abweichung (MSD) wird immer mit demselben Nenner n berechnet, unabhängig vom Modell. MSD ist bei ungewöhnlich großen Prognosefehlern ein empfindlicheres Maß als MAD.

Formel

Notation

BegriffBeschreibung
yt tatsächlicher Wert zum Zeitpunkt t
angepasster Wert
n Anzahl der Beobachtungen
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