Methoden und Formeln für Zweifache exponentielle Glättung

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Modellgleichung

Bei der zweifachen exponentiellen Glättung werden für jede Periode eine Niveaukomponente und eine Trendkomponente verwendet. Bei der zweifachen exponentiellen Glättung werden zwei Gewichtungen (auch Glättungsparameter genannt) verwendet, um die Komponenten für jede Periode zu aktualisieren. Die Gleichungen für die zweifache exponentielle Glättung lauten wie folgt:

Formel

Lt = α Yt + (1 – α) [Lt –1 + Tt –1]

Tt = γ [Lt Lt –1] + (1 – γ) Tt –1

= Lt –1 + Tt –1

Wenn die erste Beobachtung mit 1 nummeriert wird, dann müssen die Niveau- und Trendschätzungen zum Zeitpunkt null initialisiert werden, um fortfahren zu können. Die verwendete Initialisierungsmethode bestimmt, mit welchem von zwei Verfahren die geglätteten Werte ermittelt werden: mit optimalen Gewichtungen oder mit angegebenen Gewichtungen.

Notation

BegriffBeschreibung
Lt Niveau zum Zeitpunkt t
α Gewichtung für das Niveau
Tt Trend zum Zeitpunkt t
γ Gewichtung für den Trend
Yt Datenwert zum Zeitpunkt t
angepasster Wert bzw. die Prognose für eine Periode im Voraus zum Zeitpunkt t

Gewichtungen

Optimale ARIMA-Gewichtungen

  1. Minitab passt ein ARIMA(0;2;2)-Modell an die Daten an, mit dem die Summe der quadrierten Fehler minimiert wird.
  2. Die Trend- und die Niveaukomponente werden anschließend per Rückwärtsprognose initialisiert.

Angegebene Gewichtungen

  1. Minitab passt ein lineares Regressionsmodell an die Zeitreihendaten (y-Variable) im Vergleich mit der Zeit (x-Variable) an.
  2. Die Konstante (Schnittpunkt mit der y-Achse) aus dieser Regression ist die Anfangsschätzung der Niveaukomponente, der Steigungskoeffizient die Anfangsschätzung der Trendkomponente.

Wenn Sie Gewichtungen angeben, die einem ARIMA(0;2;2)-Modell mit gleichen Wurzeln entsprechen, entspricht die Holt-Methode der spezifischeren Brown-Methode1.

Prognosen

Bei der zweifachen exponentiellen Glättung werden Prognosen anhand der Niveau- und Trendkomponente erstellt. Die Prognose für m Perioden ab einem bestimmten Zeitpunkt t lautet wie folgt:

Formel

Lt + mTt

Für die Glättung werden die Daten bis zum Prognoseursprung verwendet.

Notation

BegriffBeschreibung
Lt Niveau zum Zeitpunkt t
Tt Trend zum Zeitpunkt t

Prognosegrenzen

Formel

Basierend auf der mittleren absoluten Abweichung (MAD). Die Formeln für die Ober- und Untergrenze lauten:
  • Obergrenze = Prognose + 1,96 × dt × MAD
  • Untergrenze = Prognose – 1,96 × dt × MAD

Notation

BegriffBeschreibung
β max{α, γ)
δ 1 – β
α Glättungskonstante für Niveau
γ Glättungskonstante für Trend
τ
b 0(T)
b 1(T)

MAPE

Der mittlere absolute prozentuale Fehler (MAPE) ist eine Maßzahl für die Genauigkeit der angepassten Zeitreihenwerte. MAPE drückt die Genauigkeit als Prozentsatz aus.

Formel

Notation

BegriffBeschreibung
yt tatsächlicher Wert zum Zeitpunkt t
angepasster Wert
n Anzahl der Beobachtungen

MAD

Die mittlere absolute Abweichung (MAD) ist eine Maßzahl für die Genauigkeit der angepassten Zeitreihenwerte. MAD drückt die Genauigkeit in der gleichen Einheit wie die Daten aus, wodurch der Fehlerbetrag leichter erfasst werden kann.

Formel

Notation

BegriffBeschreibung
yt tatsächlicher Wert zum Zeitpunkt t
angepasster Wert
n Anzahl der Beobachtungen

MSD

Die mittlere quadrierte Abweichung (MSD) wird immer mit demselben Nenner n berechnet, unabhängig vom Modell. MSD ist bei ungewöhnlich großen Prognosefehlern ein empfindlicheres Maß als MAD.

Formel

Notation

BegriffBeschreibung
yt tatsächlicher Wert zum Zeitpunkt t
angepasster Wert
n Anzahl der Beobachtungen
1 N.R. Farnum und L.W. Stanton (1989). Quantitative Forecasting Methods. PWS-Kent.
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