Verwendungen der Weibull-Verteilung zum Modellieren von Zuverlässigkeitsdaten

Die Weibull-Verteilung ist die Verteilung, die am häufigsten zum Modellieren von Zuverlässigkeitsdaten verwendet wird. Diese Verteilung lässt sich einfach interpretieren, und sie ist äußerst vielseitig. In der Zuverlässigkeitsanalyse können Sie mit dieser Verteilung u. a. folgende Fragen beantworten:
  • Für welchen Prozentsatz von Prüfeinheiten ist ein Ausfall während der Burn-in-Phase zu erwarten? Beispiel: Für welchen Prozentsatz von Sicherungen wird während der achtstündigen Burn-In-Phase ein Ausfall erwartet?
  • Wie viele Garantieansprüche können während der Nutzungsdauer eines Produkts erwartet werden? Beispiel: Wie viele Garantieanträge erwarten Sie während der Nutzungsdauer eines Reifens von 50.000 Meilen?
  • Für welchen Zeitpunkt wird ein schneller Verschleiß erwartet? Beispiel: Wann sollten regelmäßige Wartungen geplant werden, um das Eintreten von Motoren in ihre Verschleißphase zu verhindern?

Mit der Weibull-Verteilung können Daten modelliert werden, die rechtsschief, linksschief oder symmetrisch sind. Daher wird die Verteilung zur Untersuchung der Zuverlässigkeit in diversen Anwendungen verwendet, u. a. für Elektronenröhren, Kondensatoren, Kugellager, Relais und Studien der Materialfestigkeit. Mit der Weibull-Verteilung kann zudem eine Hazard-Funktion modelliert werden, die abnimmt, zunimmt oder konstant bleibt, wodurch jede Phase der Lebensdauer eines Produkts beschrieben werden kann.

Die Weibull-Verteilung ist möglicherweise weniger effektiv für Produktausfälle, die durch chemische Reaktionen oder einen Zersetzungsprozess wie Korrosion verursacht werden, was bei Halbleitern auftreten kann. In der Regel werden derartige Situationen mit Hilfe der lognormalen Verteilung modelliert.

Rayleigh-Verteilung
Wenn die Weibull-Verteilung den Formparameter 2 aufweist, wird sie als Rayleigh-Verteilung bezeichnet. Mit Hilfe dieser Verteilung werden häufig Messdaten in der Kommunikationstechnik beschrieben, z. B. Messwerte für die Eingangs-Rückflussdämpfung, Seitenband-Einspeisung bei der Modulation, Trägerunterdrückung und RF-Fading. Diese Verteilung kommt außerdem häufig bei Lebensdauerprüfungen von elektrisch gesteuerten Vakuumgeräten zum Einsatz.
Modell des schwächsten Glieds
Mit der Weibull-Verteilung kann auch eine Lebensdauerverteilung mit mehreren identischen und unabhängigen, zu Ausfällen führenden Prozessen modelliert werden, bei denen der erste Prozess, der in eine kritische Phase eintritt, die Zeit bis zum Ausfall bestimmt. Dieses Modell des „schwächsten Glieds“, bei dem viele Mängel gleichermaßen den Ausfall verursachen können, beruht auf der Extremwerttheorie. Da die Weibull-Verteilung theoretisch von der Verteilung des kleinsten Extremwerts abgeleitet werden kann, ist sie auch ein effektives Modell für Anwendungen zur Untersuchung des schwächsten Glieds, z. B. Ausfälle von Kondensatoren, Kugellagern, Relais und Materialfestigkeit. Wenn die relevante Variable jedoch negative Werte annehmen kann, ist die Verteilung des kleinsten Extremwerts besser geeignet, da mit der Weibull-Verteilung aufgrund ihrer Untergrenze von 0 nur positive Werte modelliert werden können.

Beispiel 1: Kondensatoren

Kondensatoren wurden unter starken Stressbedingungen getestet, um Ausfalldaten (in Stunden) zu erhalten. Die Ausfalldaten wurden mit einer Weibull-Verteilung modelliert.

Beispiel 2: Glühfäden

Ein Glühlampenhersteller fertigt weißglühende Glühfäden, für die bei Normalbetrieb über einen längeren Zeitraum kein Verschleiß erwartet wird. Die Techniker des Unternehmens möchten eine Betriebsdauer der Glühlampen von 10 Jahren garantieren. Sie setzen die Glühlampen erhöhten Stressbedingungen aus, um eine lange Nutzungsdauer zu simulieren, und zeichnen für jede Glühlampe die Stunden bis zum Ausfall auf.

Beziehung zwischen Parametern der Weibull-Verteilung, Zuverlässigkeitsfunktionen und Hazard-Funktionen

Durch Anpassen des Formparameters β der Weibull-Verteilung können Sie die Merkmale viele verschiedener Lebensdauerverteilungen modellieren.

0 < ß < 1

In der Anfangsphase der Produktlebensdauer treten vorzeitige Ausfälle auf. Derartige Ausfälle können eine „Burn-In-Phase“ des Produkts erforderlich machen, um das Risiko von frühen Ausfällen zu reduzieren.
Dichtefunktion

Exponentielle Abnahme von Unendlichkeit

Hazard-Funktion

Hohe anfängliche Ausfallrate, die mit der Zeit abnimmt (erster Teil der „Badewannenkurve“ der Hazard-Funktion)

ß = 1

Die Ausfallrate bleibt konstant. Zufällige Ausfälle, Ausfälle mit mehreren Ursachen. Modelliert die eigentliche Nutzungsdauer eines Produkts.
Dichtefunktion

Exponentielle Abnahme von 1/α (α = Skalenparameter)

Hazard-Funktion

Konstante Ausfallrate während der Lebensdauer eines Produkts (zweiter Teil der „Badewannenkurve“ der Hazard-Funktion)

ß = 1,5

Früher Ausfall aufgrund von Verschleiß
Dichtefunktion

Zunahme bis zur Spitze, dann Abnahme

Hazard-Funktion

Zunehmende Ausfallrate, größte Zunahme zum Anfang

ß = 2

Risiko des Ausfalls wegen Verschleiß steigt stetig während der Lebensdauer des Produkts
Dichtefunktion

Rayleigh-Verteilung

Hazard-Funktion

Linear zunehmende Ausfallrate

3 ≤ ß ≤4

Schnelle Ausfälle aufgrund von Verschleiß. Modelliert die letzte Phase im Produktlebenszyklus, in der die meisten Ausfälle auftreten.
Dichtefunktion

Glockenförmig

Hazard-Funktion

Rapide Zunahme

ß > 10

Sehr schnelle Ausfälle aufgrund von Verschleiß. Modelliert die letzte Phase im Produktlebenszyklus, in der die meisten Ausfälle auftreten.
Dichtefunktion

Ähnelt der Extremwertverteilung

Hazard-Funktion

Sehr rapide Zunahme

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