Verwendungen der Verteilung des kleinsten Extremwerts zum Modellieren von Zuverlässigkeitsdaten

Die Verteilung des kleinsten Extremwerts ist eine begrenzende Verteilung für das Minimum einer sehr großen Gruppe zufällig entnommener Beobachtungen aus der gleichen beliebigen Verteilung. Diese Verteilung ist ein hilfreiches Modell in Situationen, in denen viele identische und unabhängige Prozesse zu einem Ausfall führen können, wobei der zuerst ausgefallene Prozess die Ausfallzeit bestimmt. Dieser wird gelegentlich als das schwächste Glied bezeichnet.

Verwenden Sie die Verteilung des kleinsten Extremwerts in der Zuverlässigkeitsanalyse, um u. a. folgende Fragen zu beantworten:
  • Welches Material kann der größten Belastung standhalten?
  • Für wie viele Einheiten wird während der Garantiefrist ein Defekt erwartet?
  • Welche Kraft muss mindestens aufgewendet werden, um einen Beutel zu zerreißen, wenn mehrere Stresstests in unterschiedlichen Bereichen der einzelnen Teile durchgeführt werden?
  • Welches Kabel kann besser mit 1.000 Pfund belastet werden?

Die Verteilung des kleinsten Extremwerts eignet sich häufig für Produktausfälle, die auf aufgebrachte Last und Materialfestigkeit zurückzuführen sind. Mit der Extremwertverteilung werden Minimalwerte modelliert. Bei Verwendung dieser Verteilung sorgen Sie sich normalerweise nicht um die Verteilung der Variablen, die einen Großteil der Grundgesamtheit beschreiben, sondern lediglich um die Extremwerte, die einen Ausfall nach sich ziehen können. Mit anderen Worten: Sie untersuchen Unzulänglichkeiten bestimmter Materialien, die zu ungleichmäßigem Stress unter Belastung führen können. Die Festigkeit des Materials steht daher in Beziehung zur Auswirkung der Unzulänglichkeit, die die größte Reduktion der Festigkeit verursacht (das schwächste Glied).

Die Beziehung zwischen der Verteilung des kleinsten Extremwerts und der Weibull-Verteilung ähnelt der zwischen der Normalverteilung und der lognormalen Verteilung. Konkret hat der natürliche Logarithmus (Log Basis e) einer Variablen, die einer Weibull-Verteilung folgt, eine Verteilung des kleinsten Extremwerts.

Trotz dieser Äquivalenz sind die Verteilungen hinsichtlich ihrer Anwendung nicht generell austauschbar. Das National Institute of Standards and Technology (NIST) empfiehlt, die Verteilung des kleinsten Extremwerts in „allen Modellierungsanwendungen [zu verwenden], für welche die Variable von Interesse das Minimum vieler Zufallsfaktoren darstellt, die alle positive oder negative Werte annehmen können“.

Eine häufige Anwendung ist der dielektrische Durchschlag in Kondensatoren, bei denen viele Mängel gleichermaßen den Ausfall verursachen können. Ein weiteres Beispiel sind Halbleiter-Drahtbonds, die unter normalen Betriebsbedingungen in der Regel nicht brechen oder überhitzen, es sei denn, sie werden einer extremen elektrischen Last ausgesetzt oder sie weisen eine extrem geringe Bondfestigkeit auf. Ebenso haben Kühlmittelschläuche eine minimale Stärke, um eine angemessene Wärmeableitung zur Kühlflüssigkeit sicherzustellen. Ein Ausfall tritt jedoch ein, wenn die heißen Verbrennungsgase winzige Löcher durch einen beliebigen Punkt am Schlauch brennen.

Beispiel 1: Drahtfestigkeit

Drahtstichproben gleicher Länge werden auf Bruchfestigkeit getestet. Die Ergebnisse werden mit Hilfe der Verteilung des kleinsten Extremwerts modelliert.

Beispiel 2: Zyklen bis zum Ausfall

Techniker unterziehen eine Legierungsprobe einer Gesamtzahl von 300.000 Zyklen und messen die Anzahl der Zyklen bis zum Ausfall.

Dichtefunktion und Hazard-Funktion für die Extremwertverteilung

Dichtefunktion

Für die Extremwertverteilung ist die Dichtefunktion in der Regel linksschief.

Hazard-Funktion

Die Hazard-Funktion der Verteilung des kleinsten Extremwerts zeigt ein Ausfallrisiko, das exponentiell zunimmt.

Die Hazard-Funktion zeigt, dass die Verteilung des kleinsten Extremwerts geeignet ist, um die Lebensdauer eines Produkts zu modellieren, das ab einem bestimmten Alter sehr schnell verschleißt. Dies umfasst den letzten Abschnitt der Badewannenkurve, der als Verschleißphase bezeichnet wird.
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