Methoden und Formeln für verteilungsgebundene Modelle in Verteilungsgebundene Wachstumskurve

Homogener Poisson-Prozess

Der homogene Poisson-Prozess (HPP) ist ein Poisson-Prozess mit einer konstanten Intensitätsfunktion λ. Die Intervalle zwischen Ausfällen sind unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen, die einer Exponentialverteilung mit Mittelwert = 1/λ folgen.

Da die Intensitätsfunktion des homogenen Poisson-Prozesses konstant ist, ist dieses Modell nur dann geeignet, wenn sich die Intervalle zwischen den Ausfällen nicht systematisch vergrößern oder verkleinern. Der homogene Poisson-Prozess ist nicht für Systeme geeignet, die sich verbessern oder verschlechtern.

Power-Law-Prozess

Ein nicht homogener Poisson-Prozess mit der folgenden Intensitätsfunktion:

Die Intensitätsfunktion stellt die Rate der Ausfälle oder Reparaturen dar. Der Wert für die Form (β) hängt davon ab, ob sich das System verbessert, verschlechtert oder stabil bleibt.

  • Bei 0 < β < 1 sinkt die Ausfall-/Reparaturrate. Das System wird also mit der Zeit besser.
  • Bei β = 1 ist die Ausfall-/Reparaturrate konstant. Das System ist also über den entsprechenden Zeitraum stabil.
  • Bei β > 1 steigt die Ausfall-/Reparaturrate. Das System wird also mit der Zeit schlechter.
Hinweis

Bei Verwendung der Standardschätzmethode (Maximum-Likelihood) wird der Power-Law-Prozess auch als AMSAA-Modell oder Crow-AMSAA-Modell bezeichnet. (Im ursprünglichen Crow-AMSAA-Modell wird der Skalenparameter mit der Gleichung Lambda = 1/Theta^(beta) ausgedrückt.) Wird nur ein einziges System untersucht und die Schätzmethode der kleinsten Quadrate verwendet, wird der Power-Law-Prozess als Duane-Modell bezeichnet.

Notation

BegriffBeschreibung
βiForm
θiSkala
Ni Anzahl der Ausfälle im Intervall (0;t] für das i-te System
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