Methoden und Formeln für das Wahrscheinlichkeitsnetz in Verteilungsgebundene Analyse (Rechtszensierung)

Wahrscheinlichkeitsnetz

Ein Wahrscheinlichkeitsnetz besteht aus den folgenden Elementen:
  • Diagrammpunkte: Die geschätzten Perzentile für die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten eines geordneten Datensatzes.
  • Anpassungslinie: Das erwartete Perzentil aus der Verteilung auf der Grundlage der Maximum-Likelihood-Schätzwerte für die Parameter.
  • Konfidenzintervalle: Die Konfidenzintervalle für die Perzentile.

Da die Diagrammpunkte von keiner Verteilung abhängig sind, sind sie vor der Transformation für jedes erstellte Wahrscheinlichkeitsnetz gleich. Die Anpassungslinie unterscheidet sich jedoch je nach ausgewählter Verteilung. Mit Wahrscheinlichkeitsnetzen können Sie daher beurteilen, ob eine bestimmte Verteilung für die Daten passend ist. Je näher die Punkte an der Anpassungslinie liegen, desto besser ist im Allgemeinen die Anpassung.

Diagrammpunkte

Die Diagrammpunkte des Wahrscheinlichkeitsnetzes stellen die Wahrscheinlichkeit dar, dass ein Produkt vor der Zeit t ausfällt. Für rechtszensierte oder unzensierte Daten berechnet Minitab die Diagrammpunkte mit den folgenden Methoden:
  • Median-Rang-Methode (Standardmethode)
  • Modifizierte Kaplan-Meier-Methode
  • Herd-Johnson-Methode
  • Kaplan-Meier-Methode

Wenn die Daten gebundene Ausfallzeiten (identische Ausfallzeiten) enthalten, werden entweder alle Punkte (Standardeinstellung), der Durchschnitt (Median) oder das Maximum der gebundenen Punkte dargestellt. Wenn die Bindung Ausfälle und Aussetzungen einschließt, wird angenommen, dass die Ausfälle vor den Aussetzungen auftreten.

Jede dieser Methoden generiert verteilungsfreie Schätzwerte von F(t), der kumulativen Verteilungsfunktion für die Zufallsvariable T, die die Zeit bis zum Ausfall angibt.

Für eine Stichprobe von n Beobachtungen sei x(1), x(2),...,x(n) die Ordnungsstatistik, also die vom kleinsten zum größten Wert geordneten Daten. i ist dann der Rang der I-ten geordneten Beobachtung x(I). Die Formel für jede Methode lautet wie folgt:

Median-Rang (Benard-Methode)

Formel für unzensierte Daten

Formel für zensierte Daten

Kaplan-Meier modifiziert

Formel für unzensierte Daten

Formel für zensierte Daten

Herd-Johnson-Schätzung

Formel für unzensierte Daten

Formel für zensierte Daten

Kaplan-Meier-Produktlimitschätzung

Hinweis

Wenn die größte Beobachtung unzensiert ist, ergibt die Kaplan-Meier-Methode p = 1 für die größte unzensierte Beobachtung. In diesem Fall erhalten Sie mit dem Kaplan-Meier-Schätzwert für die größte Beobachtung eine Zahl, die im Diagramm nicht verwendet werden kann. Dieses Problem wird behoben, indem das größte p als 90 % der Distanz zwischen dem vorhergehenden p und 1 berechnet wird.

Hinweis

Für beliebig zensierte Daten schätzt Minitab die kumulativen Wahrscheinlichkeiten mit der Turnbull-Methode1.

Formel für unzensierte Daten

Formel für zensierte Daten

Notation

BegriffBeschreibung
iRang des Datenpunkts, wobei Bindungen aufeinanderfolgende Ränge zugewiesen werden
nAnzahl der Beobachtungen in den Daten
δj 0, wenn die j-te Beobachtung zensiert ist, oder 1, wenn die j-te Beobachtung unzensiert ist
ARi
AR0entspricht 0
p'i

Anpassungslinie

In der folgenden Tabelle wird gezeigt, wie die x- und y-Koordinaten für die Anpassungslinie berechnet werden. Beachten Sie Folgendes:
  • Minitab transformiert die x-Achse in eine Log-Skala, wenn Sie eine Weibull-Verteilung, Weibull-Verteilung mit 3 Parametern, Exponentialverteilung, lognormale Verteilung oder loglogistische Verteilung verwenden.
  • Minitab transformiert die y-Achse standardmäßig in eine Prozentskala. Wenn Sie den Typ der y-Skala in eine Wahrscheinlichkeit ändern, transformiert Minitab die y-Achse in eine Skala für Wahrscheinlichkeiten.

Verteilung x-Koordinate y-Koordinate
Kleinster Extremwert Ausfallzeit ln(–ln(1 – p))
Weibull ln(Ausfallzeit) ln(–ln(1 – p))
Weibull mit 3 Parametern ln(Ausfallzeit – Schwellenwert) ln(–ln(1 – p))
Exponential ln(Ausfallzeit) ln(–ln(1 – p))
Exponential mit 2 Parametern ln(Ausfallzeit – Schwellenwert) ln(–ln(1 – p))
Normal Ausfallzeit Φ –1 (p)
Lognormal ln(Ausfallzeit) Φ –1 (p)
Lognormal mit 3 Parametern ln(Ausfallzeit – Schwellenwert) Φ –1 (p)
Logistisch Ausfallzeit
Loglogistisch ln(Ausfallzeit)
Loglogistisch mit 3 Parametern ln(Ausfallzeit – Schwellenwert)

Notation

BegriffBeschreibung
Φ –1 inverse kumulative Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
ln(x)natürlicher Logarithmus von x
1 B. W. Turnbull (1976). „The Empirical Distribution Function with Arbitrarily Grouped, Censored and Truncated Data“, Journal of the Royal Statistical Society, 38, S. 290-295.
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