Was ist eine Linkfunktion?

Verallgemeinerte lineare Modelle umfassen eine Linkfunktion, die den erwarteten Wert der Antwortvariablen in Beziehung zu den linearen Prädiktoren im Modell setzt. Mit einer Linkfunktion werden die Wahrscheinlichkeiten der Stufen einer kategorialen Antwortvariablen in eine unbegrenzte stetige Skala transformiert. Sobald die Transformation abgeschlossen ist, kann die Beziehung zwischen den Prädiktoren und der Antwortvariablen mit der nichtlinearen Regression modelliert werden. Eine binäre Antwortvariable kann z. B. zwei eindeutige Werte aufweisen. Werden diese Werte in Wahrscheinlichkeiten konvertiert, reicht die Antwortvariable von 0 bis 1. Wenn Sie eine geeignete Linkfunktion auf die Wahrscheinlichkeiten anwenden, reichen die resultierenden Zahlen von −∞ to +∞.

Die Linkfunktion liegt in der folgenden allgemeinen Form vor:

g(μi) = Xi'β

Minitab bietet eine Reihe von Linkfunktionen, mit deren Hilfe Sie eine Vielzahl von Modellen für Antwortvariablen anpassen können. Es empfiehlt sich, eine Linkfunktion auszuwählen, die gut an die Daten angepasst ist. Mit Hilfe der Statistiken für die Güte der Anpassung können Sie Modelle vergleichen, die unterschiedliche Linkfunktionen verwenden. Bestimmte Linkfunktionen können aus historischen Gründen verwendet werden, oder weil sie eine bestimmte Bedeutung in einer Disziplin haben. Beispielsweise besteht ein Vorteil der Logit-Linkfunktion darin, dass sie einen Schätzwert für das Chancenverhältnis liefert. Ein weiteres Beispiel ist die Normit-Linkfunktion: Bei dieser wird angenommen, dass eine zugrunde liegende Variable vorhanden ist, die einer Normalverteilung folgt und in Kategorien unterteilt ist.

Minitab bietet verschiedene Linkfunktionen für unterschiedliche Typen von Antwortvariablen.

Modelle Name Linkfunktion, g(μi)
Binomial, ordinal, nominal Logit ln(μi/(1−μi))
Binomial, ordinal Normit (Probit) Φ−1(μi)
Binomial, ordinal Gompit (komplementärer Log-Log) ln(−ln(1−μi))
Poisson natürlicher Logarithmus ln(μi)
Poisson Quadratwurzel
Poisson Identität μi
BegriffBeschreibung
g(μi) Linkfunktion
μiMittelwert der Antwortvariablen in der i-ten Zeile
XiVektor der Prädiktorvariablen für die i-te Zeile
βVektor der Koeffizienten, die den Prädiktoren zugeordnet sind
Φ−1(·) inverse kumulative Verteilungsfunktion der Normalverteilung
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