Grafiken für Regression der partiellen kleinsten Quadrate

Hier finden Sie Definitionen und Anleitungen zur Interpretation für alle Grafiken, die mit der Regression der partiellen kleinsten Quadrate verfügbar sind.

Modellauswahldiagramm

Das Modellauswahldiagramm ist ein Streudiagramm der Werte von R2 und dem prognostizierten R2 als Funktion der Anzahl der Komponenten, die angepasst oder kreuzvalidiert wurden. Dabei handelt es sich um eine grafische Darstellung der Modellauswahl- und Validierungstabelle. Wenn keine Kreuzvalidierung verwendet wird, werden die Werte des prognostizierten R2 im Diagramm nicht angezeigt. Minitab stellt pro Antwortvariable ein Modellauswahldiagramm bereit.

Interpretation

Anhand dieses Diagramms können Sie die Modellierungs- und Prognosefähigkeiten der verschiedenen Modelle vergleichen, um die geeignete Anzahl von Komponenten zu ermitteln, die im Modell beibehalten werden sollen. Die vertikale Linie im Diagramm gibt die Anzahl der Komponenten an, die Minitab für das PLS-Modell ausgewählt hat.

In diesem Diagramm wurde keine Kreuzvalidierung zur Auswahl der Komponenten verwendet. Minitab passt die als Standard vorgegebene Anzahl von 10 Komponenten an und zeigt die Werte von R2 für jedes Modell im Diagramm an.
In diesem Diagramm wurde die Kreuzvalidierung zur Auswahl der Komponenten verwendet. Die blauen Kreise stellen die Werte von R2 dar, und die roten Quadrate stellen die Werte des prognostizierten R2 für jedes Modell dar. Minitab hat das Modell mit vier Komponenten ausgewählt, da dieses das höchste prognostizierte R2 aufweist.

Antwortdiagramm

Das Antwortdiagramm ist ein Streudiagramm der angepassten Werte im Vergleich zu den tatsächlichen Werten der Antwortvariablen. Wenn Sie eine Kreuzvalidierung ausführen, enthält das Diagramm außerdem die angepassten Werte im Vergleich zu den kreuzvalidierten angepassten Werten. Minitab stellt ein Antwortdiagramm pro Antwortvariable bereit.

Interpretation

Verwenden Sie dieses Diagramm, um zu ermitteln, wie gut das Modell angepasst ist und wie präzise die einzelnen Beobachtungen prognostiziert werden. Suchen Sie in diesem Diagramm nach Folgendem:
  • Ein nichtlineares Muster in den Punkten verweist darauf, dass das Modell möglicherweise nicht gut an die Daten angepasst ist oder die Daten u. U. nicht präzise prognostiziert.
  • Wenn Sie eine Kreuzvalidierung ausführen, verweisen große Differenzen zwischen angepassten und kreuzvalidierten Werten auf einen Hebelwirkungspunkt.

Ein Modell mit hervorragenden Prognosefähigkeiten weist in der Regel eine Steigung von 1 auf und schneidet die y-Achse bei 0.

Im ersten Diagramm liegen die Punkte in einem linearen Muster, was darauf hinweist, dass das Modell gut an die Daten angepasst ist und die Werte der Antwortvariablen präzise prognostiziert. Im zweiten Diagramm wurde eine Kreuzvalidierung verwendet, so dass sowohl die angepassten als auch die kreuzvalidierten angepassten Werte im Diagramm dargestellt werden. Das Diagramm zeigt keine Differenzen zwischen den angepassten und den kreuzvalidierten angepassten Werten der Antwortvariablen.

Koeffizientendiagramm

Das Koeffizientendiagramm ist ein projiziertes Streudiagramm, in dem die nicht standardisierten Koeffizienten für die einzelnen Prädiktoren dargestellt werden. Minitab stellt ein Koeffizientendiagramm pro Antwortvariable bereit.

Interpretation

Verwenden Sie das Koeffizientendiagramm und die ausgegebenen Regressionskoeffizienten, um Vorzeichen und Größe der Koeffizienten für die einzelnen Prädiktoren zu vergleichen. Dieses Diagramm erleichtert es Ihnen, rasch zu ermitteln, welche Prädiktoren im Modell mehr oder weniger wichtig sind.

Da im Diagramm nicht standardisierte Koeffizienten angezeigt werden, können Sie Vergleiche bezüglich der Größe der Beziehungen zwischen Prädiktoren und der Antwortvariablen nur anstellen, wenn sich die Prädiktoren auf derselben Skala befinden (z. B. bei Spektraldaten). Andernfalls empfiehlt es sich, das standardisierte Koeffizientendiagramm oder das Ladungsdiagramm zu verwenden, um die Gewichtungen der Prädiktoren zum Berechnen der Komponenten zu vergleichen.

In diesem Diagramm befinden sich die Prädiktoren (Spektraldaten) auf derselben Skala. Das Diagramm weist darauf hin, dass die Wellenlängen 1–40 den größten Einfluss auf die Antwortvariablen haben.

Std.-Koeffizientendiagramm

Das Koeffizientendiagramm ist ein projiziertes Streudiagramm, in dem die standardisierten Koeffizienten für die einzelnen Prädiktoren dargestellt werden. Minitab stellt ein standardisiertes Koeffizientendiagramm pro Antwortvariable bereit.

Interpretation

Vergleichen Sie anhand dieses Diagramms und den ausgegebenen Regressionskoeffizienten Vorzeichen und Größe der Koeffizienten für die einzelnen Prädiktoren. Dieses Diagramm erleichtert Ihnen das schnelle Ermitteln von Prädiktoren, die im Modell mehr oder weniger wichtig sind.

Da im Diagramm standardisierte Koeffizienten angezeigt werden, können Sie Vergleiche bezüglich der Größe der Beziehungen zwischen Prädiktoren und der Antwortvariablen anstellen, selbst wenn sich die Prädiktoren nicht auf derselben Skala befinden.

Wenn sich die Prädiktoren auf derselben Skala befinden, ähneln die Muster der Koeffizienten in standardisierten und nicht standardisierten Diagrammen einander. Diese Diagramme sehen jedoch u. U. nicht identisch aus, da die Prädiktoren stark korrelieren, wodurch die Koeffizienten instabil werden. Ein weiterer Grund dafür sind die Differenzen zwischen den Standardabweichungen der Stichproben und den Standardabweichungen der Grundgesamtheit.

In diesem Diagramm besitzen die Elemente mit den längsten Balken die größten standardisierten Koeffizienten und beeinflussen das Aroma am stärksten. Die Elemente oberhalb der Mittellinie weisen eine positive Beziehung mit dem Aroma, die Elemente unterhalb der Mittellinie eine negative Beziehung auf.

Distanzdiagramm

Das Distanzdiagramm ist ein Streudiagramm der Distanz der einzelnen Beobachtungen vom x- und y-Modell. Mit den Distanzen vom y-Modell wird gemessen, wie gut die Anpassung an die Beobachtung im y-Raum ist. Mit den Distanzen vom x-Modell wird gemessen, wie gut die Anpassung an die Beobachtung im x-Raum ist.

Interpretation

Untersuchen Sie dieses Diagramm auf Punkte, die eine größere Distanz als andere Punkte auf der x- bzw. y-Achse aufweisen. Beobachtungen mit größeren Distanzen vom y-Modell können Ausreißer sein, und Beobachtungen mit größeren Distanzen vom x-Modell können Hebelwirkungspunkte sein.

In diesem Diagramm scheint keiner der Punkte ein extremer Ausreißer oder Hebelwirkungspunkt zu sein.

Histogramm der Residuen

Im Histogramm der standardisierten Residuen wird die Verteilung der standardisierten Residuen für alle Beobachtungen veranschaulicht.

Interpretation

Verwenden Sie das Histogramm der Residuen, um zu ermitteln, ob die Daten schief sind oder Ausreißer enthalten. Die Muster in der folgenden Tabelle können darauf hindeuten, dass das Modell die Modellannahmen nicht erfüllt.
Muster Mögliche Bedeutung des Musters
Ein langer Randbereich in einer Richtung Schiefe
Ein Balken weit entfernt von den anderen Balken Ein Ausreißer

Da die Darstellung eines Histogramms von der Anzahl der Intervalle abhängt, die zum Gruppieren der Daten verwendet werden, ist ein Histogramm nicht geeignet, um zu beurteilen, ob die Residuen normalverteilt sind. Verwenden Sie stattdessen ein Wahrscheinlichkeitsnetz für Normalverteilung. Ein Histogramm ist am effektivsten, wenn Sie über mindestens ca. 20 Datenpunkte verfügen. Wenn die Stichprobe zu klein ist, enthalten die einzelnen Balken im Histogramm keine ausreichende Menge an Datenpunkten, um Schiefe und Ausreißer zuverlässig darzustellen.

Dieses Histogramm der standardisierten Residuen weist ein glockenförmiges, symmetrisches Muster auf. Dies weist darauf hin, dass die Residuen nicht schief verteilt und keine Ausreißer vorhanden sind.

Wahrscheinlichkeitsnetz (Normal) für Residuen

Das Wahrscheinlichkeitsnetz (Normal) für Residuen stellt die standardisierten Residuen im Vergleich zu den Werten dar, die bei Vorliegen einer Normalverteilung erwartet würden.

Interpretation

Verwenden Sie das Wahrscheinlichkeitsnetz (Normal) der Residuen, um die Annahme zu überprüfen, dass die Residuen normalverteilt sind. Die Residuen im Wahrscheinlichkeitsnetz für Normalverteilung sollten ungefähr einer Geraden folgen.

Die folgenden Muster verletzen die Annahme, dass die Residuen normalverteilt sind.

Die S-Kurve deutet auf eine Verteilung mit langen Randbereichen hin.

Die invertierte S-Kurve deutet auf eine Verteilung mit kurzen Randbereichen hin.

Eine Abwärtskurve deutet auf eine rechtsschiefe Verteilung hin.

Wenige Punkte, die abseits der Linie liegen, deuten auf eine Verteilung mit Ausreißern hin.

Wenn Sie ein nicht normalverteiltes Muster feststellen, prüfen Sie das Modell anhand der übrigen Residuendiagramme auf andere Probleme, z. B. auf fehlende Terme oder einen Effekt der chronologischen Reihenfolge. Wenn die Residuen keiner Normalverteilung folgen, sind die Konfidenzintervalle und p-Werte möglicherweise ungenau.

Residuen vs. Anpassungen

Im Diagramm der Residuen im Vergleich mit den Anpassungen werden die standardisierten Residuen auf der y-Achse und die angepassten Werte auf der x-Achse abgetragen.

Interpretation

Verwenden Sie das Diagramm der Residuen im Vergleich zu den Anpassungen, um die Annahme zu überprüfen, dass die Residuen zufällig verteilt sind und eine konstante Varianz aufweisen. Im Idealfall sollten die Punkte zufällig auf beiden Seiten von null verteilt sein, und es sollten keine Muster in den Punkten erkennbar sein.

Die Muster in der folgenden Tabelle können darauf hinweisen, dass das Modell die Modellannahmen nicht erfüllt.
Muster Mögliche Bedeutung des Musters
Aufgefächerte oder ungleichmäßig gestreute Residuen für die angepassten Werte Nicht konstante Varianz
Krümmung Ein fehlender Term höherer Ordnung
Ein weit von null entfernt liegender Punkt Ein Ausreißer
Ein in x-Richtung weit von den anderen Punkten entfernter Punkt Ein einflussreicher Punkt
Die folgenden Grafiken zeigen einen Ausreißer sowie eine Verletzung der Annahme, dass die Varianz der Residuen konstant ist.
Diagramm mit Ausreißer

Einer der Punkte ist viel größer als alle anderen Punkte. Daher handelt es sich bei dem Punkt um einen Ausreißer. Wenn zu viele Ausreißer auftreten, ist das Modell möglicherweise nicht akzeptabel. Versuchen Sie nach Möglichkeit, die Ursache von Ausreißern zu ermitteln. Korrigieren Sie sämtliche Dateneingabe- oder Messfehler. Erwägen Sie, Datenwerte zu entfernen, die auf ungewöhnliche, einmalige Ereignisse (Ausnahmebedingungen) zurückzuführen sind. Wiederholen Sie anschließend die Analyse.

Diagramm mit nicht konstanter Varianz

Die Varianz der Residuen nimmt mit den angepassten Werten zu. Beachten Sie, dass sich bei zunehmenden Werten der Anpassungen die Streuung der Residuen verbreitert. Dieses Muster weist darauf hin, dass die Varianzen der Residuen ungleich (nicht konstant) sind.

Residuen vs. Hebelwirkung

Das Diagramm der Residuen im Vergleich zu den Hebelwirkungen ist ein Streudiagramm der standardisierten Residuen im Vergleich zu den Hebelwirkungen der einzelnen Beobachtungen.

Interpretation

Verwenden Sie das Diagramm der Residuen im Vergleich zu den Hebelwirkungen, um Ausreißer und Hebelwirkungspunkte zu identifizieren.
  • Ausreißer: Beobachtungen mit standardisierten Residuen größer als +/–2, die außerhalb der horizontalen Referenzlinien im Diagramm liegen.
  • Hebelwirkungspunkte: Beobachtungen mit Hebelwirkungswerten größer als 2m/n, wobei m der Anzahl der Komponenten und n der Anzahl der Beobachtungen entspricht, die als extrem angesehen werden. Sie weisen weit von null entfernte x-Werte auf und befinden sich rechts neben der vertikalen Referenzlinie, die bei 2m/n auf der x-Achse liegt. Wenn 2m/n größer als 1 ist, wird die Referenzlinie im Diagramm nicht angezeigt, weil Hebelwirkungswerte immer zwischen 0 und 1 liegen.
In diesem Diagramm sind die Stichproben 41 und 42 Hebelwirkungspunkte, entsprechend ihrer Lage rechts neben der vertikalen Linie. Die Sojabohnen-Stichproben 27, 18 und 39 sind Ausreißer, entsprechend ihrer Lage unter- bzw. oberhalb der horizontalen Referenzlinien. Stichprobe 39 stellt auch im Diagramm der Residuen im Vergleich zu den Anpassungen einen Ausreißer dar.

Residuen vs. Reihenfolge

Das Diagramm der Residuen im Vergleich mit der Reihenfolge zeigt die standardisierten Residuen in der Reihenfolge an, in der die Daten erfasst wurden.

Interpretation

Verwenden Sie das Diagramm der Residuen im Vergleich zur Reihenfolge, um die Annahme zu überprüfen, dass die Residuen zufällig verteilt sind. Bei in chronologischer Reihenfolge angezeigten unabhängigen Residuen sind weder Trends noch Muster zu erkennen. Muster in den Punkten können darauf hinweisen, dass nahe beieinander liegende Residuen korrelieren und daher nicht unabhängig sind. Im Idealfall sollten die Residuen im Diagramm zufällig um die Mittellinie gestreut sein:
Wenn Sie ein Muster erkennen, untersuchen Sie die Ursache. Die folgenden Typen von Mustern können darauf hinweisen, dass die Residuen abhängig sind.
Trend
Shift
Zyklus

Scoreplot

Das Scoreplot ist ein Streudiagramm der x-Werte aus der ersten und der zweiten Komponente im Modell.

Interpretation

Wenn die ersten beiden Komponenten den größten Teil der Streuung in den Prädiktoren erklären, spiegelt die Konfiguration der Punkte in diesem Diagramm die ursprüngliche mehrdimensionale Konfiguration der Daten weitgehend wider. Um zu überprüfen, welcher Streuungsgrad in den Prädiktoren durch das Modell erklärt wird, untersuchen Sie die Werte der x-Varianz in der Modellauswahl- und Validierungstabelle. Wenn der Wert für die x-Varianz hoch ist, erklärt das Modell einen signifikanten Teil der Streuung der Prädiktoren.

Suchen Sie in diesem Diagramm nach Folgendem:
  • Hebelwirkungspunkte: Punkte, die weit entfernt von der Mehrheit der Punkte im Diagramm liegen, können Hebelwirkungspunkte sein und sich signifikant auf die Ergebnisse auswirken.
  • Cluster: Gruppen von Punkten können auf zwei oder mehr verschiedene Verteilungen in den Daten verweisen, die mit anderen Modellen möglicherweise besser beschrieben werden können.
Durch Markieren von Punkten im Scoreplot wird aufgezeigt, dass die Sojabohnen-Stichproben 36, 38, 40, 41 und 42 in den unteren Quadranten möglicherweise hohe Hebelwirkungswerte aufweisen. Mehrere dieser Stichproben wurden in anderen Diagrammen als Ausreißer oder Hebelwirkungspunkte dargestellt. Da die ersten beiden Komponenten 99 % der Streuung der Prädiktoren erklären, werden die Daten von diesem Diagramm angemessen dargestellt.
Hinweis

Wenn das Modell mehr als zwei Komponenten enthält, empfiehlt es sich möglicherweise, die x-Werte der anderen Komponenten mit Hilfe eines Streudiagramms darzustellen. Speichern Sie dafür die Matrix der x-Werte, und kopieren Sie sie anschließend in Spalten, indem Sie Daten > Kopieren > Matrix in Spalten auswählen. Wenn das Modell nur eine Komponente enthält, wird dieses Diagramm in der Ausgabe nicht angezeigt.

3D-Scoreplot

Das 3D-Scoreplot ist ein dreidimensionales Streudiagramm der x-Werte aus der ersten, zweiten und dritten Komponente im Modell. Wenn die ersten drei Komponenten den größten Teil der Streuung in den Prädiktoren erklären, spiegelt die Konfiguration der Punkte in diesem Diagramm die ursprüngliche mehrdimensionale Konfiguration der Daten weitgehend wider. Um zu überprüfen, welcher Streuungsgrad durch das Modell erklärt wird, untersuchen Sie die Werte der x-Varianz in der Modellauswahl- und Validierungstabelle. Wenn der Wert für die x-Varianz hoch ist, erklärt das Modell einen signifikanten Teil der Streuung der Prädiktoren.

Interpretation

Suchen Sie im 3D-Scoreplot nach Folgendem:
  • Hebelwirkungspunkte: Punkte, die weit entfernt von der Mehrheit der Punkte im Diagramm liegen, können Hebelwirkungspunkte sein und sich signifikant auf die Ergebnisse auswirken.
  • Cluster: Gruppen von Punkten können auf zwei oder mehr verschiedene Verteilungen in den Daten verweisen, die mit anderen Modellen möglicherweise besser beschrieben werden können.

Darüber hinaus sollten Sie die 3D-Grafikwerkzeuge verwenden, mit denen Sie ein Diagramm drehen können, so dass Sie es aus verschiedenen Perspektiven betrachten können. Dadurch erhalten Sie ein umfassenderes Bild der Daten, und Sie können Hebelwirkungspunkte und Cluster von Punkten präziser erkennen.

Nach Drehen dieses 3D-Scoreplots scheint es, als könnte es sich bei der Sojabohnen-Stichprobe 42 wegen ihres extremen Werts für die zweite Komponente möglicherweise um einen Hebelwirkungspunkt handeln. Stichprobe 42 wurde in anderen Diagrammen als möglicher Hebelwirkungspunkt ermittelt.

Ladungsdiagramm

Das Ladungsdiagramm ist ein Streudiagramm der Prädiktoren, die auf die erste und die zweite Komponente im Modell projiziert wurden. Es veranschaulicht die x-Ladungen für die zweite Komponente im Vergleich zu den x-Ladungen der ersten Komponente. Jeder Punkt, der jeweils einen Prädiktor darstellt, ist im Diagramm mit (0;0) verbunden.

Interpretation

Im Ladungsdiagramm wird dargestellt, wie wichtig die Prädiktoren für die ersten beiden Komponenten sind; es ist besonders hilfreich, wenn sich die Prädiktoren auf verschiedenen Skalen befinden. Wenn die Komponenten den größten Teil der x-Varianz erklären, was in der Modellauswahl- und Validierungstabelle veranschaulicht wird, gibt das Ladungsdiagramm an, wie wichtig die Prädiktoren im x-Raum sind. Beim Untersuchen der Bedeutung der Prädiktoren für das gesamte Modell müssen Sie außerdem berücksichtigen, welchen Teil der Varianz in der Antwortvariablen die Komponenten erklären. Untersuchen Sie hierzu die Werte von R2 und dem prognostiziertem R2 in der Modellauswahl- und Validierungstabelle.

Achten Sie in diesem Diagramm auf Folgendes:
  • Winkel zwischen den Linien, die die Korrelation zwischen den Prädiktoren darstellen. Kleinere Winkel verweisen darauf, dass die Prädiktoren stark korrelieren.
  • Prädiktoren mit längeren Linien, die in der ersten oder zweiten Komponente größere Ladungen aufweisen und im Modell wichtiger sind.
Dieses Ladungsdiagramm zeigt, dass die Prädiktoren stark korrelieren, weil die Winkel zwischen den Linien klein sind. Die Linien weisen eine annähernd gleiche Länge auf, was darauf hinweist, dass die Prädiktoren gleich bedeutsam sind. Für die erste Komponente verfügen die Prädiktoren über ähnliche negative Ladungen, was darauf hinweist, dass sie gleich wichtig sind. Für die zweite Komponente verfügen die ersten drei Prädiktoren über größere absolute Ladungen als die übrigen Prädiktoren.
Hinweis

Wenn das Modell mehr als zwei Komponenten enthält, empfiehlt es sich möglicherweise, die x-Ladungen der anderen Komponenten mit Hilfe eines Streudiagramms grafisch darzustellen. Speichern Sie dafür die Matrix der x-Ladungen, und kopieren Sie sie anschließend in Spalten, indem Sie Daten > Kopieren > Matrix in Spalten auswählen.

Residuen-x-Diagramm

Das Residuen-x-Diagramm ist ein Liniendiagramm der x-Residuen im Vergleich zu den Prädiktoren. Jede Linie stellt eine Beobachtung dar und verfügt über ebenso viele Punkte wie Prädiktoren.

Interpretation

Ermitteln Sie anhand des Residuenmatrix-x-Diagramms Beobachtungen oder Prädiktoren, die vom Modell mangelhaft beschrieben werden. Dieses Diagramm ist am nützlichsten, wenn sich die Prädiktoren auf derselben Skala befinden.

Im Idealfall liegen die Linien im Diagramm dicht beieinander und nahe null.
  • Wenn sich die Linien am selben Punkt auf der x-Achse voneinander trennen, beschreibt das Modell den Prädiktor an diesem Punkt schlecht.
  • Wenn eine Linie im Diagramm von den anderen Linien abweicht, beschreibt das Modell die von dieser Linie dargestellte Beobachtung schlecht.

Untersuchen Sie anhand des Residuenmatrix-x-Diagramms allgemeine Muster in den Residuen, und ermitteln Sie Problembereiche. Untersuchen Sie anschließend die x-Residuen in der Ausgabe, um zu ermitteln, welche Beobachtungen und Prädiktoren vom Modell nicht angemessen beschrieben werden.

In diesem Residuen-x-Diagramm liegen die Residuen nahe null, was darauf hinweist, dass das Modell den größten Teil der Streuung in den Prädiktoren beschreibt. Bei solchen kleinen Werten für x-Residuen können Sie keine Beobachtungen oder Prädiktoren ermitteln, die das Modell nicht angemessen beschreibt.

Berechnetes X-Diagramm

Das berechnete x-Diagramm ist ein Liniendiagramm der x-berechneten Werte im Vergleich zu den Prädiktoren. Jede Linie stellt eine Beobachtung dar und verfügt über ebenso viele Punkte wie Prädiktoren.

Interpretation

Verwenden Sie dieses Diagramm, um Beobachtungen oder Prädiktoren zu ermitteln, die vom Modell mangelhaft beschrieben werden. Dieses Diagramm ist am nützlichsten, wenn sich die Prädiktoren auf derselben Skala befinden.

Das berechnete x-Diagramm ergänzt das Residuen-x-Diagramm. Die Summe beider Diagramme ergibt ein Diagramm der ursprünglichen Werte der Prädiktorvariablen. Ein Prädiktor mit x-berechneten Werten, die erheblich kleiner oder größer als die ursprünglichen x-Werte sind, wird vom Modell nicht gut beschrieben.

In diesem Diagramm liegen die meisten der x-berechneten Werte sehr dicht an den ursprünglichen Werten der Prädiktorvariablen. Dies weist darauf hin, dass das Modell den größten Teil der Streuung der Prädiktoren beschreibt.
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