Methoden und Formeln für die Modellinformationen in Faktoriellen Versuchsplan analysieren

Versuchsplanmatrix

Minitab verfolgt für die Versuchsplanmatrix denselben Ansatz wie im allgemeinen linearen Modell (GLM), bei dem das angegebene Modell mit einer Regression angepasst wird. Zunächst erstellt Minitab auf der Grundlage der Faktoren und des angegebenen Modells eine Versuchsplanmatrix. Die Spalten dieser Matrix (mit X bezeichnet) stellen die Terme im Modell dar.

Die Versuchsplanmatrix umfasst n Zeilen, wobei n die Anzahl der Beobachtungen ist, sowie mehrere Blöcke von Spalten, die den Termen im Modell entsprechen. Der erste Block steht für die Konstante und umfasst lediglich eine Spalte, die nur Einsen enthält. Der Block für einen stetigen Faktor enthält ebenfalls nur eine Spalte. Der Block von Spalten für einen kategorialen Faktor enthält r Spalten, wobei r den Freiheitsgraden für den Faktor entspricht.

Ein allgemeiner vollfaktorieller Versuchsplan kann beispielsweise über Faktoren mit mehr als zwei Stufen verfügen. Angenommen, A ist ein Faktor mit 4 Stufen. Der Faktor verfügt folglich über drei Freiheitsgrade, und sein Block enthält drei Spalten (A1, A2, A3). Jede Zeile ist jeweils wie folgt kodiert:

Stufe von A A1 A2 A3
1 1 0 0
2 0 1 0
3 0 0 1
4 -1 -1 -1

Um die Spalten für einen Wechselwirkungsterm zu berechnen, multiplizieren Sie die entsprechenden Spalten für die Faktoren in der Wechselwirkung. Angenommen, Faktor A verfügt über 6 Stufen, Faktor C über 3 Stufen und Faktor D über 4 Stufen. Der Term A*C*D weist dann 5 x 2 x 3 = 30 Spalten auf. Um diese zu bestimmen, multiplizieren Sie jede Spalte für A mit jeder für C sowie mit jeder für D.

Effekte

Geschätzte Effekte für jeden Faktor. Effekte werden nur für zweistufige Modelle und nicht für allgemeine faktorielle Modelle berechnet. Die Formel für den Effekt eines Faktors lautet wie folgt:

Effekt = Koeffizient * 2

Koeffizienten (Koef)

Die Schätzwerte der Regressionskoeffizienten der Grundgesamtheit in einer Regressionsgleichung. Für jeden Faktor berechnet Minitab k – 1 Koeffizienten, wobei k der Anzahl der Stufen im Faktor entspricht. Für ein zweistufiges vollfaktorielles Zwei-Faktor-Modell lauten die Formeln für die Koeffizienten der Faktoren und Wechselwirkungen wie folgt:

Der Standardfehler des Koeffizienten für dieses zweistufige, vollfaktorielle Zwei-Faktor-Modell wird wie folgt ausgedrückt:

Weitere Informationen zu Modellen mit mehr als zwei Faktoren oder Faktoren mit mehr als zwei Stufen finden Sie in Montgomery1.

Notation

BegriffBeschreibung
Mittelwert von y auf der hohen Stufe von Faktor A
Gesamtmittelwert aller Beobachtungen
Mittelwert von y auf der hohen Stufe von Faktor B
Mittelwert von y auf den hohen Stufen von A und B
MSEmittleres Fehlerquadrat (MSE)
nAnzahl der Werte –1 und 1 (in der Kovarianzmatrix) für den geschätzten Term

Box-Cox-Transformation

Bei der Box-Cox-Transformation werden Lambda-Werte (siehe unten) ausgewählt, die die Summe der Quadrate der Residuen minimieren. Die resultierende Transformation ist Y λ, wenn λ ≠ 0, und ln(Y), wenn λ = 0. Wenn λ < 0, multipliziert Minitab zudem die transformierte Antwortvariable mit −1, um die Reihenfolge aus der nicht transformierten Antwortvariablen beizubehalten.

Minitab sucht einen optimalen Wert zwischen −2 und 2. Werte, die außerhalb dieses Intervalls liegen, führen möglicherweise nicht zu einer besseren Anpassung.

Hier finden Sie einige der gängigsten Transformationen, wobei Y′ das transformierte Y der Daten darstellt:

Lambda-Wert (λ) Transformation
λ = 2 Y′ = Y 2
λ = 0,5 Y′ =
λ = 0 Y′ = ln(Y )
λ = −0,5
λ = −1 Y′ = −1 / Y

Gewichtete Regression

Bei der Regression der gewichteten kleinsten Quadrate handelt es sich um eine Methode zum Behandeln von Beobachtungen, deren Varianzen nicht konstant sind. Wenn die Varianzen nicht konstant sind, gelten für die Beobachtungen folgende Hinweise:

  • Großen Varianzen sollten relativ kleine Gewichtungen zugewiesen werden.
  • Kleinen Varianzen sollten relativ große Gewichtungen zugewiesen werden.

Üblicherweise wird für die Gewichtungen die Umkehrung der reinen Fehlervarianz in der Antwortvariablen ausgewählt.

Die Formel für die geschätzten Koeffizienten lautet wie folgt:
Dies entspricht dem Minimieren des gewichteten SS Fehler.

Notation

BegriffBeschreibung
XDesignmatrix
X'transponierte Designmatrix
Weine (n x n)-Matrix mit den Gewichtungen auf der Diagonalen
YVektor von Werten der Antwortvariablen
nAnzahl der Beobachtungen
wiGewichtung für die i-te Beobachtung
yiWert der Antwortvariablen für die i-te Beobachtung
angepasster Wert für die i-te Beobachtung
1 D. C. Montgomery (1991) Design and Analysis of ExperimentsThird Edition, John Wiley & Sons.
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