Methoden und Formeln für die Varianzanalyse in Faktoriellen Versuchsplan analysieren

Summe der Quadrate (SS)

Die Summe der quadrierten Distanzen. Die angegebenen Formeln beziehen sich auf ein vollfaktorielles Zwei-Faktor-Modell mit den Faktoren A und B. Diese Formeln können für Modelle mit mehr als zwei Faktoren erweitert werden. Weitere Informationen finden Sie in Montgomery1.

„SS Gesamt“ gibt die Gesamtstreuung im Modell an. „SS (A)“ und „SS (B)“ sind die Summe der quadrierten Abweichungen der geschätzten Mittelwerte der Faktorstufen um den Gesamtmittelwert. „SS Fehler“ ist die Summe der quadrierten Residuen. Dies wird auch als Fehler innerhalb von Behandlungen bezeichnet. Die Berechnungen lauten wie folgt:

Wenn das Modell Replikationen enthält, wird SS Reiner Fehler wie folgt berechnet:
Für andere Fälle als das vollfaktorielle Zwei-Faktor-Modell können andere Summen der Quadrate vorliegen. Wenn Sie ein reduziertes Modell anpassen, wird SS Fehlende Anpassung wie folgt berechnet:
Wenn das Modell Zentralpunkte enthält, wird SS Krümmung wie folgt berechnet:
In Split-Plot-Designs werden die Summen der Quadrate für die Streuung der Fehler der Haupteinheiten und der Fehler der Untereinheiten wie folgt berechnet:
  1. D. C. Montgomery (1991). Design and Analysis of Experiments, Third Edition, John Wiley & Sons.

Notation

BegriffBeschreibung
aAnzahl der Stufen in Faktor A
bAnzahl der Stufen in Faktor B
nGesamtzahl der Replikationen
Mittelwert der i-ten Stufe von Faktor A
Gesamtmittelwert aller Beobachtungen
Mittelwert der j-ten Stufe von Faktor B
Beobachtung auf der i-ten Stufe von Faktor A, der j-ten Stufe von Faktor B und in der k-ten Replikation
Mittelwert der i-ten Stufe von Faktor A und der j-ten Stufe von Faktor B
Mittelwert der Antwortvariablen für Zentralpunkte
Mittelwert der Antwortvariablen für Faktorpunkte
nFAnzahl der Faktorpunkte

Sequenzielle Summe der Quadrate

Minitab schlüsselt die Varianzkomponenten der Summe der Quadrate der Regression bzw. der Behandlungen in sequenzielle Summen der Quadrate für die einzelnen Faktoren auf. Die sequenziellen Summen der Quadrate hängen von der Reihenfolge ab, in der die Faktoren bzw. Prädiktoren in das Modell aufgenommen wurden. Die sequenzielle Summe der Quadrate ist der eindeutige Anteil der Summe der Quadrate der Regression, der durch einen Faktor erklärt wird, nachdem alle zuvor aufgenommenen Faktoren erklärt wurden.

Wenn beispielsweise ein Modell mit den drei Faktoren bzw. Prädiktoren x1, x2 und x3 vorhanden ist, zeigt die sequenzielle Summe der Quadrate für x2, wie viel der verbleibenden Streuung durch x2 erklärt wird, nachdem x1 bereits in das Modell aufgenommen wurde. Wenn Sie eine andere Sequenz der Faktoren erhalten möchten, müssen Sie die Analyse wiederholen und dabei die Faktoren in einer anderen Reihenfolge aufnehmen.

Korrigierte Summe der Quadrate

Die korrigierte Summe der Quadrate hängt nicht von der Reihenfolge ab, in der die Terme in das Modell aufgenommen wurden. Die korrigierte Summe der Quadrate ist der Teil der Streuung, der durch einen Term erklärt wird, sofern alle anderen Terme im Modell enthalten sind, und zwar unabhängig von der Reihenfolge, in der die Terme in das Modell aufgenommen wurden.

Wenn beispielsweise ein Modell mit den drei Faktoren x1, x2 und x3 vorliegt, zeigt die korrigierte Summe der Quadrate für x2, wie viel der verbleibenden Streuung durch den Term für x2 erklärt wird, sofern die Terme für x1 und x3 bereits im Modell enthalten sind.

Die Berechnungen für die korrigierten Summen der Quadrate für drei Faktoren lauten wie folgt:

  • SSR(x3 | x1, x2) = SSE (x1, x2) – SSE (x1, x2, x3) oder
  • SSR(x3 | x1, x2) = SSR (x1, x2, x3) – SSR (x1, x2)

wobei SSR(x3 | x1, x2) die korrigierte Summe der Quadrate für x3 ist, sofern x1 und x2 im Modell enthalten sind.

  • SSR(x2, x3 | x1) = SSE (x1) – SSE (x1, x2, x3) oder
  • SSR(x2, x3 | x1) = SSR (x1, x2, x3) – SSR (x1)

wobei SSR(x2, x3 | x1) die korrigierte Summe der Quadrate für x2 und x3 ist, sofern x1 im Modell enthalten ist.

Sie können diese Formeln erweitern, wenn mehr als drei Faktoren im Modell vorhanden sind1.

  1. J. Neter, W. Wasserman und M. H. Kutner (1985). Applied Linear Statistical Models, Second Edition. Irwin, Inc.

Freiheitsgrade (DF)

Für einen vollfaktoriellen Versuchsplan mit den Faktoren A und B und einer Blockvariablen wird die Anzahl der Freiheitsgrade für die einzelnen Summen der Quadrate wie folgt ausgedrückt:

Für Wechselwirkungen zwischen Faktoren multiplizieren Sie die Freiheitsgrade für die Terme im Faktor. Bei den Faktoren A und B weist die Wechselwirkung AB beispielsweise diese Freiheitsgrade auf:
Um die Freiheitsgrade für einen Typ von Term zu ermitteln, summieren Sie die Freiheitsgrade für die Terme. Wenn beispielsweise die Faktoren A und B gegeben sind, weisen die Haupteffekte im Modell die folgende Anzahl von Freiheitsgraden auf:

Notation

BegriffBeschreibung
aAnzahl der Stufen in Faktor A
bAnzahl der Stufen in Faktor B
cAnzahl der Blöcke
nGesamtzahl der Beobachtungen
niAnzahl der Beobachtungen für die i-te Faktorstufenkombination
mAnzahl der Faktorstufenkombinationen
pAnzahl der Koeffizienten

Kor MS – Term

Die Berechnung für das Mittel der Quadrate (MS) für den Modellterm lautet wie folgt:

F

Ein Test, mit dem bestimmt wird, ob die Wechselwirkungseffekte und die Haupteffekte signifikant sind. Die Formel für die Modellterme lautet wie folgt:

Die Freiheitsgrade für den Test sind:

  • Zähler = Freiheitsgrade für Term
  • Nenner = Freiheitsgrade für Fehler

Größere Werte von F unterstützen das Zurückweisen der Nullhypothese, dass kein signifikanter Effekt vorhanden ist.

Für balancierte Split-Plot-Designs verwendet die F-Statistik für schwer veränderbare Faktoren das Mittel der Quadrate (MS) für die Fehler der Haupteinheiten im Nenner. Für andere Split-Plot-Designs erstellt Minitab mit einer linearen Kombination der Fehler für die Haupteinheiten (HE) und der Fehler für die Untereinheiten (UE) einen Nenner, dem das erwartete Mittel der Quadrate zugrunde liegt.

p-Wert – Tabelle der Varianzanalyse

Der p-Wert ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß, das aus einer F-Verteilung mit den Freiheitsgraden (DF) wie folgt berechnet wird:

DF des Zählers
Summe der Freiheitsgrade für den Term oder die Terme im Test
DF des Nenners
Freiheitsgrade für Fehler

Formel

1 − P(Ffj)

Notation

BegriffBeschreibung
P(Ff)kumulative Verteilungsfunktion für die F-Verteilung
ff-Statistik für den Test

Test auf fehlende Anpassung für reine Fehler

Zum Berechnen des Tests auf fehlende Anpassung für reine Fehler führt Minitab folgende Berechnungen aus:
  1. Die Summe der quadrierten Abweichungen der Antwortvariablen vom Mittelwert in jeder Gruppe von Replikationen; diese werden addiert, um die Summe der Quadrate für reine Fehler (SS PE) zu erhalten.
  2. Das Mittel der Quadrate für reine Fehler

    wobei n gleich der Anzahl der Beobachtungen und m gleich der Anzahl der eindeutigen Kombinationen der x-Stufen ist

  3. Die Summe der Quadrate für fehlende Anpassung
  4. Das Mittel der Quadrate für fehlende Anpassung
  5. Die Teststatistik

Große F-Werte und kleine p-Werte weisen darauf hin, dass das Modell ungeeignet ist.

p-Wert – Test auf fehlende Anpassung

Dieser p-Wert gilt für den Test der Nullhypothese, dass die Koeffizienten für alle Terme, die aus diesen Daten geschätzt werden können und nicht im im Modell enthalten sind, gleich 0 sind. Der p-Wert gibt die Wahrscheinlichkeit aus einer F-Verteilung an, deren Freiheitsgrade (DF) wie folgt ausgedrückt werden:
DF des Zählers
Freiheitsgrade für fehlende Anpassung
DF des Nenners
Freiheitsgrade für reine Fehler

Formel

1 − P(Ffj)

Notation

BegriffBeschreibung
P(Ffj)kumulative Verteilungsfunktion für die F-Verteilung
fjF-Statistik für den Test
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