Methoden und Formeln für einfaktorielle Designs für normalverteilte Daten in Mittelwertanalyse

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Methode

Die Mittelwertanalyse ist ein Verfahren, mit dem ermittelt wird, ob sich die Mittelwerte einzelner Faktorstufen vom Gesamtmittel (dem Mittelwert aller Beobachtungen in einem Faktor) unterscheiden. Im Folgenden sind die Schritte aufgeführt, mit denen Minitab ANOM-Ergebnisse für ein einfaches Modell berechnet:

  1. Der Mittelwert bei jeder Faktorstufe wird berechnet: y̅i. (i = 1,…, r).
  2. Das Gesamtmittel aller Beobachtungen y̅... wird berechnet.
  3. sp, ein Schätzwert der Standardabweichung einer Beobachtung, wird berechnet.
  4. Der Wert hα wird ermittelt; dieser Wert entspricht dem für den Test gewählten Signifikanzniveau, und er wird für die obere und untere Entscheidungsgrenze verwendet.
  5. Die obere und die untere Entscheidungsgrenze (OEG und UEG) werden berechnet.
  6. Die Mittelwerte der einzelnen Faktorstufen mit der oberen und der unteren Referenzlinie sowie die Mittellinie beim Gesamtmittel werden grafisch dargestellt.

Mittelwert

Formel

Der Durchschnitt der Beobachtungen auf den einzelnen Faktorstufen. Minitab stellt den Mittelwert für jede Faktorstufe in der Grafik dar.

Notation

BegriffBeschreibung
ni Anzahl der Beobachtungen auf Faktorstufe i
yij Wert der j-ten Beobachtung auf der i-ten Faktorstufe

Gesamtmittel (Mittellinie)

Formel

Hierbei handelt es sich um den Durchschnitt aller Beobachtungen für alle Faktorstufen. Minitab verwendet das Gesamtmittel als Mittellinie in der Grafik.

Notation

BegriffBeschreibung
y...Summe aller Beobachtungen in der Stichprobe
nTGesamtzahl der Beobachtungen

Standardabweichung (StdAbw)

Notation

BegriffBeschreibung
yijBeobachtungen auf der i-ten Faktorstufe
Mittelwert der Beobachtungen auf der i-ten Faktorstufe
niAnzahl der Beobachtungen auf der i-ten Faktorstufe

Zusammengefasste Standardabweichung

Hierbei handelt es sich um einen Schätzwert der Streuung für alle Faktorstufen. Die zusammengefasste Standardabweichung wird verwendet, um die Entscheidungsgrenzen zu berechnen.

Formel

Notation

BegriffBeschreibung
rAnzahl der Stufen
nTGesamtzahl der Beobachtungen

Obere und untere Entscheidungsgrenze

Mit den Entscheidungsgrenzen wird angegeben, ob sich die Mittelwerte der Faktorstufen vom Gesamtmittel unterscheiden. Punkte, die jenseits der oberen Entscheidungsgrenze (OEG) oder der unteren Entscheidungsgrenze (UEG) liegen, unterscheiden sich statistisch vom Gesamtmittel.

Die Berechnung der oberen und der unteren Entscheidungsgrenze variiert entsprechend der Anzahl der Stufen des Faktors sowie der Anzahl der Beobachtungen auf jeder Stufe.

Zwei-Stufen-Faktor mit gleicher Anzahl von Beobachtungen auf jeder Stufe

  • OEG = y.. + hα sp* Sqrt(1/ nT)
  • UEG = y.. – hα sp* Sqrt(1/ nT)

Hierbei sind hα = Absolutwert (t(a / 2, nT – 2)), sp = zusammengefasste Standardabweichung und nT = Gesamtzahl der Beobachtungen.

Faktor mit mehr als zwei Stufen und einer gleichen Anzahl von Beobachtungen auf jeder Stufe

  • OEG = y.. + hα sp* Sqrt[(r–1) / (rn1)]
  • UEG = y.. – hα sp* Sqrt[(r–1) / (rn1)]

Hierbei sind r = Anzahl der Stufen im Faktor und n1 = Anzahl der Beobachtungen auf jeder Stufe.

Die Freiheitsgrade sind (n1– 1) * r.

Für Alpha-Werte außerhalb des Bereichs von 0,001 bis 0,1 werden die Entscheidungsgrenzen wie folgt ausgedrückt:

  • OEG = y.. + hα sp* Sqrt[(nT – n1) / (nT* n1)]
  • UEG = y.. – hα sp* Sqrt[(nT – n1) / (nT* n1)]

Hierbei sind hα = Absolutwert (t(α2, df) und α2 = (1– (1– a )** (1 / r)) / 2 und df = nT – r.

Informationen zum Berechnen von hα für α-Werte zwischen 0,001 und 0,1 finden Sie in Nelson1.

Faktor mit mindestens zwei Stufen und einer ungleichen Anzahl von Beobachtungen auf jeder Stufe

  • OEGi = y.. + hα sp* Sqrt[(nT – ni) / (nT* ni)]
  • UEGi = y.. – hα sp* Sqrt[(nT – ni) / (nT* ni)]
Hierbei sind ni = Anzahl der Beobachtungen auf einer bestimmten Faktorstufe und hα = Absolutwert (t(α2, df), wobei α2 = (1– (1– a )** (1 / r)) / 2 und df = nT – r.
  1. L. S. Nelson (1983). „Exact Critical Values for Use with the Analysis of Means“, Journal of Quality Technology, 15, 40–44.
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