Was ist eine Glättungslinie?

Eine Glättungslinie ist eine Linie, die an die Daten angepasst wird und Ihnen hilft, die potenziellen Beziehungen zwischen zwei Variablen zu untersuchen, ohne ein spezifisches Modell anzupassen, z. B. eine Regressionslinie oder eine theoretische Verteilung. Glättungslinien sind am besten geeignet, wenn sich die Krümmung der Beziehung nicht abrupt ändert. In Grafiken eingefügte Glättungslinien werden mit Hilfe der Lowess-Glättungsmethode berechnet.

Streudiagramm mit Glättungslinie
Zeitreihendiagramm mit Glättungslinien für jede Gruppe

Eine der Glättungslinien ist durchgezogen, die andere ist gestrichelt.

Was ist die Lowess-Glättungsmethode?

Die Lowess-Glättungsmethode ist ein gängiges Verfahren zur Bestimmung einer Glättungslinie. Lowess steht für „LOcally-WEighted Scatterplot Smoother“ (lokal gewichtete Streudiagramm-Glättung). Die Routine wählt eine Teilmenge (Standardwert f = 0,5) aller Punkte aus; dabei werden die beiderseits des Punkts (x,y) gelegenen Datenpunkte einbezogen, deren x-Werte am nächsten an diesem Punkt liegen. Für jeden Datenpunkt führt Minitab eine gewichtete lineare Regression durch; dabei werden für die Glättung die Punkte am stärksten gewichtet, die am nächsten an den einzelnen x-Werten liegen, und der Einfluss von Ausreißern wird begrenzt. Sie können Parameter angeben, um den Glättungsgrad und den Einfluss von Ausreißern zu ändern. Sie können außerdem die Gewichtung des Glättungsparameters angeben. Je größer die Gewichtungen sind, umso stärker folgen die geglätteten Werte den Daten, und je kleiner die Gewichtungen sind, desto weniger gezackt fällt das Muster der geglätteten Werte aus.

Hinzufügen einer Glättungslinie zu einer Grafik

Sie können eine Lowess-Glättungslinie in Streudiagrammen, Matrixplots, Histogrammen und Zeitreihendiagrammen einfügen.

  1. Klicken Sie mit der rechten Maustaste auf die Grafik, und wählen Sie Hinzufügen > Glättungsfunktion aus.
  2. (Optional) Geben Sie im Feld Glättungsgrad einen Wert zwischen 0 und 1 für die Teilmenge der Punkte ein, mit denen die angepassten Werte für den jeweiligen x-Wert berechnet werden. Der Standardwert ist 0,5.
  3. (Optional) Geben Sie im Feld Anzahl der Schritte mit einer Zahl von 0 bis 10 die Anzahl der Iterationen der Glättungsfunktion an, mit denen der Einfluss von Ausreißern begrenzt werden soll. Mit jedem Schritt wird die Gewichtung der Ausreißer in der nächsten Iteration verringert. Der Standardwert ist 2.
  4. Klicken Sie auf OK.

Lowess-Methode

Mit der Lowess-Routine wird ein neuer geglätteter y-Wert für den jeweiligen x-Wert berechnet.

  1. Die Routine wählt eine Teilmenge (Standardwert f = 0,5) aller Punkte aus; dabei werden die beiderseits des Punkts (x,y) gelegenen Datenpunkte einbezogen, deren x-Werte am nächsten an diesem Punkt liegen. Häufig ergibt die Auswahl eine unterschiedliche Anzahl von Punkten auf der jeweiligen Seite des x-Werts. Im folgenden Beispiel wird die Teilmenge der für einen gegebenen Punkt ausgewählten Daten veranschaulicht. Die eingefärbte Fläche enthält die Teilmenge von 0,5, die am nächsten am einfarbig roten Datenpunkt liegt.

  2. Minitab berechnet Gewichtungen anhand der x-Distanz zwischen dem jeweiligen Punkt in der ausgewählten Teilmenge und dem zu glättenden Wert:

    Die folgende Grafik zeigt die Beziehung zwischen den Gewichtungen (vertikale Achse) und den x-Werten (horizontale Achse) für die Teilmenge der ausgewählten Punkte. Die am nächsten an den einzelnen x-Werten gelegenen Punkte erhalten die größte Gewichtung in der Glättungsfunktion.

  3. Minitab führt für jeden Punkt in der ausgewählten Teilmenge eine gewichtete lineare Regression durch; dabei werden die Gewichtungen aus Schritt 2 verwendet, um einen geglätteten Anfangswert zu berechnen.

  4. Abschließend begrenzt Minitab den Einfluss von Ausreißern auf die Ergebnisse. Hierfür werden weitere Iterationen (Standardwert n = 2) von Schritt 3 (sogenannte „robuste Schritte“) mit neuen Gewichtungen verwendet, die wie folgt berechnet werden:

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