异常值检验 的方法和公式

例如，如果可疑异常值是样本中的最小数据，但是样本中还包括两个异常大的值，则 r₁₂ 作为检验统计量比较合适。当样本中仅包括一个极端值时，r₁₀（又称为 Dixon Q）作为检验统计量比较合适。

在 Rorabacher (1991) 中，将 Dixon 检验统计量的临界值绘成了表格。

单侧检验统计量

单侧检验公式取决于要检验最小值 y_i 还是最大值 y_n。要检验 y_i 是否为异常值，请使用下面的公式：

要检验 y_n 是否为异常值，请使用下面的公式：

双侧检验统计量

我们按照 King (1953) 定义与 r₁₀ 相关的双侧检验统计量那样定义双侧检验统计量。双侧检验统计量的计算公式如下：

表示法

参考书

单侧统计量的公式

如果要检验最小的数据值是否为异常值，则按如下公式计算检验统计量 G：

如果要检验最大的数据值是否为异常值，则按如下公式计算 G：

双侧统计量的公式

对于双侧假设，G 的计算公式如下：

表示法

项	说明
	样本均值
yi	样本中的第 i 个最小值
s	样本的标准差
n	样本中的观测值个数

检验统计量的累积分布函数

根据 Dixon (1951) 和 McBane (2006)，检验统计量 r_ij 的分布的概率密度函数可以编写为：

其中 C 是归一化因子，其指定方式如下：

Jacobian J(x,v,r) 的指定方式如下：

使用变换，其中 t = (1 + r²) v² / 2，u² = 3x² / 2，密度函数可以改写为：

Minitab 使用 30 点 Gauss-Laguerre 求积计算内部积分。Minitab 使用 30 点 Gauss-Hermite 求积计算外部积分。

检验统计量系列的累积分布函数的指定方式如下：

与 McBane (2006) 相似，Minitab 使用 16 点 Gauss-Legendre 求积方法计算 F_ij(r)。

单侧检验的 p 值

对于任意下标对 (i, j)，观测到的单侧统计量 r 的 p 值的指定方式如下：

单侧检验的 p 值

如果使用 King (1953) 结果，对于任意下标对 (i, j)，观测到的双侧统计量 r 的 p 值的指定方式如下：

另外，King 观测到上述近似变成包含如下各项的等式：。

表示法

参考书

W.J. Dixon (1951)。“Ratios Involving Extreme Values”（涉及极端值的比值），Annals of Mathematical Statistics（数理统计年刊），22(1)，第 68 到 78 页。

E.P. KingKing (1953)。“On Some Procedures for the Rejection of Suspected Data”（针对一些否定可疑数据的过程），Journal of the American Statistical Association（美国统计协会杂志），第 48 卷第 263 期，第 531 到 533 页。

G.C. McBane (2006)。“Programs to Compute Distribution Functions and Critical Values for Extreme Value Ratios for Outlier Detection”（用来为异常值检测计算极端值比值的分布函数和临界值的程序），Journal of Statistical Software（统计软件杂志），第 16 卷第 3 期，第 1 到 9 页。

单侧检验的公式

单侧检验的 p 值为：

双侧检验的公式

双侧检验的 p 值为：

精确 p 值与近似 p 值

如果以下条件成立，则说明 p 值精确。

如果不成立，则计算得出的 p 值表示精确 p 值的上限。但是，上限是对精确 p 值的绝佳近似。

表示法