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关于本主题

箱线图

箱线图提供了样本分布的图形汇总。箱线图显示数据的形状、集中趋势和变异性。

解释

可使用箱线图检查数据的散布，以及确定任何可能的异常值。 当样本数量大于 20 时，箱线图具有最佳状态。

偏斜数据

检查数据的散布以确定数据看上去是否偏斜。当数据偏斜时，大多数数据位于图形的高或低侧。通常情况下，在直方图或箱线图中最易于检测偏度。

右偏斜
左偏斜

带右偏斜数据的箱线图显示等待时间。大部分等待时间相对较短，只有少数等待时间很长。带左偏斜数据的箱线图显示故障时间数据。有几个项目立即失败，还有其他许多项目在随后失败。

异常值

异常值，是远离其他数据值的数据值，可以显著影响您的分析结果。通常情况下，在箱线图上最容易识别异常值。

在箱线图上，星号 (*) 表示异常值。

尝试确定导致任何异常值的原因。更正任何数据输入错误或测量误差。考虑删除异常、单次事件（也称为特殊原因）的数据值。然后，重新执行分析。有关更多信息，请转到 标识异常值。

直方图

直方图将样本值分成许多区间，并使用条形表示每个区间中的数据值的频率。

解释

可使用直方图评估数据的形状和散布。 当样本数量大于 20 时，直方图具有最佳状态。

偏斜数据

可以使用与正态曲线重叠的数据直方图来检查数据的正态性。正态分布是对称的，并且呈钟形，如曲线所示。通常很难评估小样本的正态性。概率图最适用于确定分布拟合。

良好拟合
不良拟合
异常值

异常值，是远离其他数据值的数据值，可以显著影响您的分析结果。通常情况下，在箱线图上最容易识别异常值。

在直方图上，图形任一端上的孤立条形标识可能的异常值。

尝试确定导致任何异常值的原因。更正任何数据输入错误或测量误差。考虑删除异常、单次事件（也称为特殊原因）的数据值。然后，重新执行分析。有关更多信息，请转到 标识异常值。

多模态数据

多模态数据具有多个峰值，也称为模式。多模态数据往往表明未考虑到重要变量。

简单
含组

例如，一位银行经理收集等待时间数据，并创建一个简单的直方图。该直方图具有两个峰值。经过进一步调查，该经理确定：兑现支票的客户的等待时间短于申请房屋净值贷款的客户的等待时间。经理为客户任务添加一个组变量，然后创建一个包含该组的直方图。

如果您具有其他信息以用于将观测值分类到组，则可以创建一个包含此信息的组变量。然后，可以创建其中含有组的图形，以确定组变量是否导致数据中的峰值。

单值图

单值图显示样本中的单个值。每个圆形表示一个观测值。当您具有的观测值相对较少，以及需要评估每个观测值的效果时，单值图尤其有用。

解释

可使用单值图检查数据的散布，以及确定任何可能的异常值。 当样本数量小于 50 时，单值图具有最佳状态。

偏斜数据

检查数据的散布以确定数据看上去是否偏斜。当数据偏斜时，大多数数据位于图形的高或低侧。通常情况下，在直方图或箱线图中最易于检测偏度。

右偏斜
左偏斜

带右偏斜数据的单值图显示等待时间。大部分等待时间相对较短，只有少数等待时间很长。带左偏斜数据的单值图显示故障时间数据。有几个项目立即失败，还有其他许多项目在随后失败。

异常值

异常值，是远离其他数据值的数据值，可以显著影响您的分析结果。通常情况下，在箱线图上最容易识别异常值。

在单值图上，异常低或高的数据值表示可能的异常值。

尝试确定导致任何异常值的原因。更正任何数据输入错误或测量误差。考虑删除异常、单次事件（也称为特殊原因）的数据值。然后，重新执行分析。有关更多信息，请转到 标识异常值。

第一个四分位数

四分位数是三个值：第一个四分位数 (Q1) 在 25% 处，第二个四分位数（Q2 或中位数）在 50% 处，第三个四分位数 (Q3) 在 75% 处，这会将排序数据的样本四等分。

第一个四分位数是第 25 个百分位数，它指示有 25% 的数据小于或等于此值。

对于此排序数据，第一个四分位数 (Q1) 是 9.5。也就是说，有 25% 的数据小于或等于 9.5。

四分位间距

四分位间距 (IQR) 是第一个四分位数 (Q1) 和第三个四分位数 (Q3) 之间的距离。有 50% 的数据位于此间距内。

对于此排序数据，四分位间距是 8 (17.5–9.5 = 8)。也就是说，中间 50% 的数据介于 9.5 和 17.5 之间。

解释

使用四分位间距可以描述数据的散布。数据越分散，四分位间距越大。

最大值

最大值是指最大的数据值。

在这些数据中，最大值为 19。

13 17 18 19 12 10 7 9 14

解释

使用最大值可以标识可能的异常值或数据输入错误。评估数据散布最简单的方法之一就是比较最小值和最大值。如果最大值非常高，甚至要考虑数据的中心、散布和形状，请调查出现极端值的原因。

中位数

中位数是数据集的中点。在此中点值所在的点上，有一半的观测值大于中点值，有一半的观测值小于中点值。中位数是通过对观测值排秩并在秩顺序中查找第 [N + 1] / 2 位的观测值来确定的。如果观测值数为偶数，则中位数是排在第 N / 2 位和第 [N / 2] + 1 位的观测值的平均值。

对于此排序数据，中位数是 13。也就是说，一半的值小于或等于 13，一半的值大于或等于 13。如果添加另一个等于 20 的观测值，则中位数为 13.5，即第 5 个观测值 (13) 和第 6 个观测值 (14) 的平均值。

解释

中位数和均值均测量中心趋势。但是，不寻常的值（称为异常值）对中位数的影响会小于它们对均值的影响。如果数据是对称的，则均值和中位数相似。
对称
非对称

对于对称分布，均值（蓝线）和中位数（橙线）非常相似，以至于您很难区分这两条线。但是，非对称分布会向右偏斜。

最小值

最小值是最小的数据值。

在这些数据中，最小值为 7。

13 17 18 19 12 10 7 9 14

解释

使用最小值可以标识可能的异常值或数据输入错误。评估数据散布最简单的方法之一就是比较最小值和最大值。如果最小值非常低，甚至要考虑数据的中心、散布和形状，请调查出现极端值的原因。

极差

极差是样本中的最大数据值与最小数据值之差。极差表示包含所有数据值的区间。

解释

使用极差可以了解数据的离差量。较大的极差值表示数据的离差较大。较小的极差值表示数据的离差较小。由于极差仅使用两个数据值进行计算，因此它对于小数据集更有用。

第三个四分位数

四分位数是三个值：第一个四分位数 (Q1) 在 25% 处，第二个四分位数（Q2 或中位数）在 50% 处，第三个四分位数 (Q3) 在 75% 处，这会将排序数据的样本四等分。

第三个四分位数是第 75 个百分位数，它指示有 75% 的数据小于或等于此值。

对于此排序数据，第三个四分位数 (Q3) 是 17.5。也就是说，有 75% 的数据小于或等于 17.5。

均值

均值是数据的平均值，即所有观测值之和除以观测值的个数。

例如，银行五位客户的等待时间（以分钟计）为：3、2、4、1 和 2。平均等待时间按如下公式计算：
即一个客户平均要等待 2.4 分钟才能获得服务。

解释

使用均值来描述具有表示数据中心的单个值的样本。很多统计分析使用均值作为数据分布中心的一个标准度量。

中位数和均值均测量中心趋势。但是，不寻常的值（称为异常值）对中位数的影响会小于它们对均值的影响。如果数据是对称的，则均值和中位数相似。
对称
非对称

对于对称分布，均值（蓝线）和中位数（橙线）非常相似，以至于您很难区分这两条线。但是，非对称分布会向右偏斜。

均值的标准误

均值的标准误（SE 均值）估计样本均值之间的变异性，样本均值是在对相同总体重复抽样的情况下获得的。而均值的标准误估计样本之间的变异性，标准差度量单个样本内的变异性。

例如，根据 312 个交货时间的随机样本，得到平均交货时间为 3.80 天，标准差为 1.43 天。这些数字产生的均值标准误为 0.08 天（1.43 除以 312 的平方根）。如果从相同总体中抽取大小相同的多个随机样本，则这些不同样本均值的标准差将大约为 0.08 天。

解释

使用均值的标准误可以确定样本均值对总体均值的估计精确度。

均值的标准误越小，对总体均值的估计越精确。通常，标准差越大，均值的标准误就越大，对总体均值的估计也越不精确。样本越大，均值的标准误就越小，对总体均值的估计也越精确。

Minitab 使用均值的标准误来计算置信区间。

截尾均值

数据的均值，不包括最高 5% 和最低 5% 的值。

使用截尾均值可以消除非常大或非常小的值对均值的影响。当数据中包含异常值时，与均值相比，截尾均值能够更好地度量集中趋势。

CumN

累积 N 是连续类别中观测值个数的累计。例如，小学记录一到六年级的学生数。CumN 列包含学生总体的累积计数：
年级 计数 CumN 计算
1 49 49 49
2 58 107 49 + 58
3 52 159 49 + 58 + 52
4 60 219 49 + 58 + 52 + 60
5 48 267 49 + 58 + 52 + 60 + 48
6 55 322 49 + 58 + 52 + 60 + 48 + 55

N*

样本中缺失值的个数。缺失值个数是指包含缺失值符号 * 的单元格数。

在该示例中，数据收集期间出现 8 个错误，这些错误记录为缺失值。
总计数 N N*
149 141 8

N

样本中非缺失值的个数。

在该示例中，记录了 141 个观测值。
总数 N N*
149 141 8

总计数

列中观测值的总数。用于表示 N 缺失和 N 非缺失之和。

在该示例中，有 141 个有效的观测值，8 个缺失值。总计数为 149。
总计数 N N*
149 141 8

CumPct

累积百分比是“按变量”的每个组所占百分比的累积和。在下面的示例中，“按变量”有 4 组：第 1 行、第 2 行、第 3 行和第 4 行。

组（按变量） 百分比 CumPct
第 1 行 16 16
第 2 行 20 36
第 3 行 36 72
第 4 行 28 100

百分比

“按变量”的每个组中的观测值所占的百分比。在下面的示例中，有四组：第 1 行、第 2 行、第 3 行和第 4 行。

组（按变量） 百分比
第 1 行 16
第 2 行 20
第 3 行 36
第 4 行 28

峰度

峰度表示分布的尾部与正态分布的区别。

解释

使用峰度可帮助您初步了解有关数据分布的一般特征。
基线：峰度值 0

正态分布的数据为峰度建立了基准。峰度值为 0 表明数据服从完美的正态分布。如果峰度值显著偏离 0，则表明数据不服从正态分布。

正峰度

具有正峰度值的分布表明，相比于正态分布，该分布有更重的尾部。例如，服从 t 分布的数据具有正峰度值。实线表示正态分布，虚线表示具有正峰度值的分布。

负峰度

具有负峰度值的分布表明，相比于正态分布，该分布有更轻的尾部。例如，服从 Beta 分布（第一个和第二个分布形状参数等于 2）的数据具有负峰度值。实线表示正态分布，虚线表示具有负峰度值的分布。

偏度

偏度是数据的不对称程度。

解释

使用偏度可帮助您初步了解数据。
图 A
图 B
对称或非偏斜分布

当数据变得更加对称时，它的偏度值会接近零。图 A 显示正态分布的数据，顾名思义，正态分布数据的偏度相对较小。通过沿着此正态数据直方图的中间绘制一条直线，可以很容易地看到两侧，一侧镜像到另一侧。但是，仅缺乏偏度并不能说明正态性。在图 B 显示的分布中，一侧镜像到另一侧，但数据完全不是正态分布。

正偏斜或向右偏斜分布

正偏斜或向右偏斜的数据之所以这样命名，是因为分布的“尾部”指向右侧，而且它的偏度值大于 0（或为正数）。薪金数据通常按这种方式偏斜：一家公司中许多员工的薪金相对较低，而少数人员的薪金则非常高。

负偏斜或向左偏斜分布

向左偏斜或负偏斜的数据之所以这样命名，是因为分布的“尾部”指向左侧，而且它生成负数偏度值。故障率数据通常向左偏斜。以灯泡为例：极少的灯泡会立即烧坏，大部分灯泡都会持续相当长的时间。

变异系数

变异系数 (CoefVar) 度量散布，散布描述数据相对于均值的变异程度。变异系数在经过调整后，值将采用无单位刻度。由于进行了此调整，可以使用变异系数（而非标准差）来比较数据中具有不同单位或具有迥异均值的变异性。

解释

变异系数越大，数据越分散。

例如，您是牛奶瓶装厂的质量控制检查员，瓶装厂负责将牛奶装入小瓶和大瓶容器中。您针对每种产品抽取一个样本，并观测到小容器的平均容量为 1 杯（标准差为 0.08 杯），大容器的平均容量为 1 加仑（16 杯，标准差为 0.4 杯）。尽管大容器的标准差是小容器的标准差的 5 倍，但是变异系数支持一个不同的结论。
大容器 小容器
变异系数 = 100 * 0.4 杯 / 16 杯 = 2.5 变异系数 = 100 * 0.08 杯 / 1 杯 = 8
小容器的变异系数是大容器的变异系数的三倍多。换句话说，尽管大容器的标准差大，但小容器的变异系数远大于其均值。

标准差

标准差是离差的最常用度量，即数据从均值展开的程度。符号 σ（西格玛）通常用于表示总体的标准差，而 s 用于表示样本的标准差。对某一过程而言随机或合乎自然规律的变异通常称为噪声。对某一过程而言随机或合乎自然规律的变异通常称为噪声。

由于标准差与数据采用相同的单位，因此它通常比方差更易于解释。

解释

使用标准差可以确定数据从均值扩散的程度。 标准差值越大，数据越分散。 对于正态分布来说，好的经验法则是大约 68% 的值位于均值的一个标准差范围内，95% 的值位于两个标准差范围内，99.7% 的值位于三个标准差范围内。

使用标准差还可以建立用来估计过程的总体变异性的基准。
医院 1
医院 2
医院出院时间

管理员对两家医院急诊部所治疗的患者的出院时间进行跟踪。尽管平均出院时间大致相同（35 分钟），但标准差显著不同。医院 1 的标准差大约为 6。平均而言，患者的出院时间大约偏离均值（虚线）6 分钟。医院 2 的标准差大约为 20。

方差

方差度量数据围绕其均值的分散程度。方差等于标准差的平方。

解释

方差越大，数据越分散。

由于方差 (σ2) 是量的平方，因此其单位也是平方的，这在实际讨论中容易使人混淆。由于标准差与数据采用相同的单位，因此它通常更易于解释。例如，在公共汽车站等待时间样本的均值为 15 分钟，方差为 9 分钟2。由于方差与数据采用不同的单位，所以方差通常会显示为其平方根，即标准差。方差 9 分钟2 等效于标准差 3 分钟。

众数

众数是一组观测值中出现频率最高的值。Minitab 还会显示有多少数据点等于众数。

均值和中位数都需要计算，但众数是通过对每个值在数据集内的出现次数进行计数来确定的。

解释

众数可以与均值和中位数一起用来提供数据分布的总体特征。众数还可用来确定数据中的问题。

例如，有多个众数的分布可以确定样本包括来自两个总体的数据。如果数据包含两个众数，则分布是双模态分布。如果数据包含两个以上的众数，则分布是多模态分布。

例如，银行经理收集正在兑换支票的客户和正在申请房屋净值贷款的客户的等待时间数据。由于这两项服务存在非常大的差异，因此等待时间数据包括两个众数。应当单独收集和分析每个服务的数据。
单模态

只有一个众数 8 出现频率最高。

双模态

有两个众数 4 和 16。数据看似表示 2 个不同的总体。

MSSD

MSSD 是均方递差。MSSD 是方差的估计值。MSSD 的一个可能用法是检验一系列观测值是否随机。在质量控制中，MSSD 的一个可能用法是在子组大小为 1 时估计方差。

和

和是所有数据值的合计。和还用在统计计算中，如用于计算均值和标准差。

平方和

未校正平方和是通过对列中的每个值求平方来计算的，它计算这些平方值的和。例如，如果列中包含 x1, x2, ... , xn，则平方和等于 (x12 + x22 + ... + xn2)。与校正平方和不同的是，未校正平方和包括误差。在对数据值求平方之前不会先减去均值。

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