Winter 方法 的方法和公式

公式

乘法模型为：

• L_t = α (Y_t / S_t–p) + (1 – α) [L_t–1 + T_t–1]
• T_t = γ [L_t – L_t–1] + (1 – γ) T_t–1
• S_t = δ (Y_t / L_t) + (1 – δ) S_t–p
• = (L_t–1 + T_t–1) S_t–p

表示法

项	说明
Lt	在时间 t 的水平，α 是水平的权重
Tt	在时间 t 的趋势，
γ	趋势的权重
St	在时间 t 的季节性分量
δ	季节性分量的权重
p	季节性周期
Yt	在时间 t 的数据值
	在时间 t 的拟合值（或提前一个周期预测）

乘法模型水平和趋势初始值的计算方法

以下方法假定季节长度大于 4。

1. 查找数据的平均值、最小值和最大值。例如：
   • 平均值 = 554.208
   • 最小值 = 1
   • 最大值 = 1498.47
2. 对于每行数据，计算：
3. 设 N 等于季节长度。对于此例，N = 12。
4. 使用第一个 N“临时值”（在步骤 2 中计算）作为 Y 变量并使用 1 到 N 的向量作为 X 变量来运行回归。因此，对于本示例：

   Y	X
   4104.36	1
   4104.36	2
   4630.36	3
   4922.80	4
   4822.40	5
   5601.83	6
   4891.77	7
   4604.44	8
   4411.26	9
   4123.66	10
   4104.36	11
   4104.36	12

   回归线的斜率是趋势的初始值。

5. 通过相减来调整回归线的截距：

数据的截距为 4705.24。从截距中减去 4103.36，获得调整后的截距 601.879。此调整的截距是水平的初始值。

公式

表示法

项	说明
Lt	在时间 t 的水平，α 是水平的权重
Tt	在时间 t 的趋势，
γ	趋势的权重
St	在时间 t 的季节性分量
δ	季节性分量的权重
p	季节性周期
Yt	在时间 t 的数据值
	在时间 t 的拟合值（或提前一个周期预测）

加法模型水平和趋势初始值的计算方法

以下方法假定季节长度大于 4。

1. 设 N 等于季节长度。对于此例，N = 12。
2. 使用前 N 个数据值作为 Y 变量并使用 1 到 N 的向量作为 X 变量来运行回归。因此，对于本示例：

   Y	X
   1.00	1
   1.00	2
   527.00	3
   819.45	4
   719.04	5
   1498.47	6
   788.42	7
   501.08	8
   307.90	9
   20.30	10
   1.00	11
   1.00	12

   回归线的斜率是趋势的初始值。回归线的截距是水平的初始值。

加法模型的季节性指数的初始值计算方法

以下方法假定季节长度大于 4。

1. 使用数据值作为 Y 变量并使用 1 到 24 的向量作为 X 变量来运行回归。因此，对于本示例：

   Y	X
   1.00	1
   1.00	2
   527.00	3
   819.45	4
   719.04	5
   1498.47	6
   788.42	7
   501.08	8
   307.90	9
   20.30	10
   1.00	11
   1.00	12
   83.00	13
   668.21	14
   1121.28	15
   1386.84	16
   1031.18	17
   988.60	18
   1380.30	19
   1005.97	20
   233.69	21
   211.87	22
   2.00	23
   2.40	24

   在下一步使用此回归模型的残差

2. 使用残差作为 Y 变量并使用 12 个指示变量（z.1 到 z.12）作为 X 变量来运行回归。拟合没有截距（常量）项的回归模型。因此，对于本示例：

   残差	z.1	z.2	z.3	z.4	z.5	z.6	z.7	z.8	z.9	z.10	z.11	z.12
   -508.261	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
   -512.170	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
   9.926	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
   298.460	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
   194.145	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
   969.667	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0
   255.705	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0
   -35.538	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0
   -232.625	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
   -524.137	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0
   -547.346	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0
   -551.254	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1
   -473.161	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
   108.141	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
   557.303	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
   818.952	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
   459.378	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
   412.890	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0
   800.684	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0
   422.451	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0
   -353.739	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
   -379.468	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0
   -593.247	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0

   此回归模型的系数是季节性指数的初始值。系数为：

   阶段	COEF1
   1	-490.711
   2	-202.014
   3	283.615
   4	558.706
   5	326.762
   6	691.278
   7	528.195
   8	193.456
   9	-293.182
   10	-451.803
   11	-570.297
   12	-574.005

   注意

   指示变量 z.1 到 z.12 表示每个数据点所属的周期的哪个月。例如，变量 z.1 在该周期第一个月等于 1，否则等于 0。

Winters 方法在每个周期中采用一个水平分量、一个趋势分量以及一个季节性分量。它在每个周期使用三个权重（即平滑参数）来更新分量。水平和趋势分量的初始值从对时间进行线性回归而来。季节性分量的初始值则从使用去除趋势后的数据的虚拟变量回归而来。

Winters 方法使用水平、趋势和季节性分量来生成预测。Winters 方法还使用预测起始时间之前的数据来生成预测。

公式

表示法

项	说明
Lt	水平
Tt	时间 t 处的趋势

项	说明
St + m −p	上一年中同一周期的季节性分量

对于每个预测，分析都会生成一个预测区间。

公式

表示法

项	说明
	时间 t + m的预测
t	预测的起源
m	预测指数，例如第一个预测为 1
	标准正态分布在 1- α /2 处的逆累积概率; α = 置信水平/100
θ	平滑常数 alpha（水平）、gamma（趋势）和 delta（季节性）的最大值
ν	1 – θ
	时间序列在时间 t处的观测值
	时间 t之前一个完整季节周期的季节性分量
	时间 t – 1 的水平分量
	时间 t – 1 的趋势分量
T	季节性成分、水平成分和趋势成分都存在的序列中的数据值数

平均绝对百分比误差 (MAPE) 度量时间序列值拟合的准确度。MAPE 以百分比表示准确度。

公式

表示法

项	说明
yt	时间 t 处的实际值
	拟合值
n	观测值个数

平均绝对偏差 (MAD) 度量时间序列值拟合的准确度。MAD 以与数据相同的单位表示准确度，从而有助于使误差量概念化。

公式

表示法

项	说明
yt	时间 t 处的实际值
	拟合值
n	观测值个数

无论采用哪种模型，平均偏差平方和 (MSD) 始终是使用相同的分母 n 计算的。对于异常大的预测误差，MSD 度量比 MAD 敏感。

公式

表示法

项	说明
yt	时间 t 处的实际值
	拟合值
n	观测值个数