随机批次的稳定性研究的方法

混合模型的一般形式

混合效应模型包含固定效应和随机效应。混合效应模型的一般形式为：

y = Xβ + Z₁μ₁+ Z₂μ₂ + ... + Z_cμ_c + ε

表示法

固定模型的特定形式

稳定性研究拟合两个具有一个随机批次因子的模型。最大的模型包含时间、随机批次因子以及时间和批次之间的随机交互作用项。

y = Xβ + Z₁μ₁+ Z₂μ₂ + ε

最小的模型包含时间和随机批次因子。

y = Xβ + Z₁μ₁+ε

响应向量 y 的一般方差-协方差矩阵为：

V(σ²) = V(σ², σ²₁, ... , σ²_c) = σ²I_n + σ²₁Z₁Z'₁ + ... + σ²_cZ_cZ'_c

其中

σ² = (σ², σ²₁, ... , σ²_c)'

σ², σ²₁, ... , σ²_c are called variance components.

通过分解方差，您可以在计算混合模型的对数似然时找到 H(θ) 的表示形式。

V(σ²) = σ²H(θ) = σ²[I_n + θ₁Z₁Z'₁ + ... + θ_cZ_cZ'_c]

当批次是随机因子时，通过对受限对数似然函数的相反数进行两次最小化可得出未知参数估计值。求最小值相当于最大化受限对数似然函数。要实现最小化的函数为：

表示法

Box-Cox 变换选择能够最小化残差平方和的 lambda 值（如下所示）。由此生成的变换是 Y^λ（当 λ ≠ 0 时）及 ln(Y)（当 λ = 0 时）。当 λ < 0 时，Minitab 还会将变换后响应乘以 −1，以维持未变换响应的顺序。

Minitab 搜索介于 −2 和 2 之间的最优值。此区间以外的值生成的拟合可能较差。

以下是一些常见的变换，其中 Y' 是数据 Y 的变换：

Lambda (λ) 值	变换
λ = 2	Y′ = Y 2
λ = .5	Y′ =
λ = 0	Y′ = ln(Y )
λ = −.5
λ = −1	Y′ = −1 / Y

如果“批次*时间”交互作用项显著，则该分析将拟合第一个模型。如果交互作用项不显著，但批次项在第二个模型中显著，则该分析将拟合第二个模型。否则，该模型将拟合第三个模型。

是否合并批次的检验与包括批次的检验略有不同，尽管这两种检验都取决于卡方分布。检验统计量和 P 值的公式如下所示。

模型 1 和模型 2 之间的检验

差分 = −2L₂ − (−2L₁)

p = 0.5 * Prob(χ²₁ > 差分) + 0.5 * Prob(χ²₂ > 差分)

模型 2 和模型 3 之间的检验

差分 = −2L₃ − (−2L₂)

p = 0.5 * Prob(χ²₁ > 差分)

表示法

参考资料

1. Searle S.R.、Casella G. 和 McCuloch C.E. (1992)。Variance Components（方差分量）
2. West B.T.、Welch K.B. 和 Galecki A.T. (2007)。Linear Mixed Models: A Practical Guide Using Statistical Software（线性混合模型：使用统计软件的实用指南）。
3. Chow S. (2007)。Statistical Design and Analysis of Stability Studies（稳定性研究的统计设计和分析）。