偏最小二乘回归的方法

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关于本主题

模型拟合
交叉验证

模型拟合

Minitab 使用由 Herman Wold¹发明的非线性迭代偏最小二乘 (NIPALS) 算法来解决与病态数据相关的问题。PLS 通过减去基于预测变量和响应变量之间的协方差的不相关分量，减少预测变量数。PLS 类似于主成分回归和脊回归，但计算方法各不相同。

PLS 算法可以生成一系列模型，其中，每个连续模型包含一个附加分量。一次计算一个分量，从标准化 X 和 Y 矩阵开始。后续分量是根据 X 和 Y 矩阵计算的；迭代会在达到最大分量数后或在 X 残差变为零矩阵时停止。如果分量数等于预测变量数，则 PLS 模型等于最小二乘回归模型。交叉验证用于标识分量数，以最小化预测误差。

PLS 可同时对预测变量和响应变量执行分解。在 Minitab 确定分量数和计算载荷后，它会计算每个预测变量的回归系数。对于 PLS 和 NIPALS 的更多详细信息，请参见 ² ³ ⁴。

交叉验证

计算潜在模型的预测能力，以帮助您确定要保留在模型中的适当的分量数。当数据包含多个响应变量时，Minitab 同时验证所有响应变量的分量。

交叉验证过程

对于每个潜在模型，Minitab 将进行以下操作：

根据您使用的交叉验证方法，忽略一个观测值或一组观测值。
不考虑该观测值/观测值组的情况下，重新计算模型。
使用重新计算的模型预测忽略的观测值/观测值组的响应或交叉验证的拟合值，并计算交叉验证残差值。
重复步骤 1-3，直到忽略并拟合了所有的观测值。
计算预测平方和 (PRESS) 和预测的 R² 值。

对每个模型执行步骤 1-5 后，Minitab 将选择具有可以产生最高的预测 R² 和最低的 PRESS 的分量数的模型。具有多重响应变量时，Minitab 将选择具有最高平均预测 R² 和最低平均 PRESS 的模型。

¹ H. Wold (1975)。“Soft Modeling by Latent Variables; the Nonlinear Iterative Partial Least Squares Approach”（潜变量的软建模；非线性迭代偏最小二乘法），Perspectives in Probability and Statistics, Papers in Honour of M.S. Bartlett（纪念 M.S. Bartlett 的文章概率和统计量中的观点），ed. J. Gani, Academic Press。

² P. Geladi 和 B. Kowalski (1986)。“Partial Least-Squares Regression: A Tutorial”（偏最小二乘回归：教程），Analytica Chimica Acta（分析化学学报），185，1-17。

³ A. Hoskuldsson (1988)。“PLS Regression Methods”（PLS 回归方法），Journal of Chemometrics（化学计量学杂志），2，211-228。

⁴ A. Lorber、L. Wangen 和 B. Kowalski (1987)。“A Theoretical Foundation for the PLS Algorithm”（PLS 算法的理论基础），Journal of Chemometrics（化学计量学杂志），1，19-31。