非线性回归参数估计值的方法和公式

通过变换参数强制执行参数约束。¹

如果	得到
a < θ	θ = a + exp( φ )
θ < b	θ = b - exp( φ )
a < θ < b	θ = a +((b - a) / (1 + exp( -φ )))

项	说明
a 和 b	数字常量
θ's	参数
φ	变换的参数

Minitab 会执行这些变换并显示基于原始参数的结果。

1. Bates 和 Watts (1988)。Nonlinear Regression Analysis and Its Applications（非线性回归分析及其应用）。John Wiley & Sons, Inc.

θ_p 估计值的近似标准误等于 S 乘以 的对角线元素 p 的平方根 ，书写方式如下：

其中，e_p 是 P 乘以元素 p 等于 1 且所有其他元素等于 0 的 1 个向量。Minitab 会计算：

通过反演算：

表示法

项	说明
n	第 n 个观测值
N	观测值总数
p	自由（解锁）参数的个数
R	最后一次迭代的 Vi 的 QR 分解中的（上三角部分）R 矩阵
V0	梯度矩阵 = ( ∂f(xn, θ) / ∂θp)，即 f(x0, θ) 的偏导数的 P*1 向量在 θ* 处的求值
S

参数估计的近似方差-协方差矩阵为：

介于 θ_p 和 θ_q 估计值之间的近似相关为：

由于 R 是三角形，因此 Minitab 可以通过向后求解而不是通用的逆算法获得其逆三角形。

表示法

项	说明
R	最后一次迭代的 Vi 的 QR 分解中的（上三角部分）R 矩阵
P	自由（解锁）参数的个数
v0	梯度矩阵 = ( ∂f(xn, θ) / ∂θ p)，即 f( x0, θ) 的偏导数的 P*1 向量在 θ* 处的求值
θ's	参数

让具有 θ* 的 θ = (θ₁, . . . . θ_p) * 为 θ 的最后一次迭代。

基于似然的 100 (1 - α) % 置信限满足：

其中，S( θ_p ) 是在保持 θ_p 不变和最小化其他参数时获得的 SSE。¹ 这相当于以下求解过程：

S(θ_p) = S(θ*) + (t_α/2)² MSE

表示法

项	说明
θ's	参数
n	第 n 个观测值
N	观测值总数
P	自由（解锁）参数的个数
tα/2	自由度为 N - P 的 t 分布的 α/2 上限点
S(θ)	误差平方和
MSE	均方误