拟合 Poisson 模型中估计方程的方法和公式

存在两种可以确定系数的极大似然估计的方法。一种方法是直接最大化系数对应的似然函数。这些表达式的系数呈非线性。另一种方法是使用迭代重加权最小二乘法，Minitab 使用该方法获得系数的估计值。McCullagh 和 Nelder¹ 证明了这两种方法等效。但是，迭代重加权最小二乘法更易于执行。有关详细信息，请参见 1。

[1] P. McCullagh 和 J. A. Nelder (1989)。Generalized Linear Models（广义线性模型），第 2 版，Chapman & Hall/CRC, London。

第 i 个系数的标准误是方差-协方差矩阵的第 i 个对角线元素的正平方根。方差-协方差矩阵具有以下形式：

W 是对角矩阵，其中通过以下公式可以得出对角线元素的：

其中

此方差-协方差矩阵基于与 Fisher 的信息矩阵相对的已观测的 Hessian 矩阵。Minitab 使用已观测的 Hessian 矩阵，因为针对任何条件均值错误设定，该矩阵生成的模型更稳健。

如果使用规范链接，则已观测的 Hessian 矩阵与 Fisher 的信息矩阵相同。

表示法

项	说明
yi	第 i 行的响应值
	第 i 行的估计均值响应
V(·)	下表列出的方差函数
g(·)	链接函数
V '(·)	方差函数的一阶导数
g'(·)	链接函数的一阶导数
g''(·)	链接函数的二阶导数

方差函数取决于模型：

有关详细信息，请参见 [1] 和 [2]。

[1] A. Agresti (1990)。Categorical Data Analysis（类别数据分析）。John Wiley & Sons, Inc.

[2] P. McCullagh 和 J.A. Nelder (1992)。Generalized Linear Model（广义线性模型）。Chapman & Hall。

Z 统计量用于确定预测变量是否与响应变量显著相关。Z 的绝对值越大，表示关系越显著。公式为：

表示法

项	说明
Zi	标准正态分布的检验统计量
	估计的系数
	估计系数的标准误

对于数量较少的样本，似然比率检验可能是更可靠的显著性检验。似然比率 P 值在偏差表中。当样本数量足够多时，Z 统计量的 P 值近似于似然比率统计量的 P 值。

用于假设检验，可帮助您确定是要否定原假设还是无法否定原假设。如果原假设成立，P 值就是获得至少与实际计算值一样极端的检验统计量的概率。P 值常用的截止值为 0.05。例如，如果检验统计量的计算的 P 值小于 0.05，您可以否定原假设。

d x d 矩阵，其中，d 为预测变量数加一。每个系数的方差在对角线单元中，每对系数的协方差在相应的非对角线单元中。方差是系数标准误的平方。

方差-协方差矩阵来自信息矩阵的逆矩阵的最后一次迭代。方差-协方差矩阵具有以下形式：

W 是对角矩阵，其中通过以下公式可以得出对角线元素：

其中

此方差-协方差矩阵基于与 Fisher 的信息矩阵相对的已观测的 Hessian 矩阵。Minitab 使用已观测的 Hessian 矩阵，因为针对任何条件均值错误设定，该矩阵生成的模型更稳健。

如果使用规范链接，则已观测的 Hessian 矩阵与 Fisher 的信息矩阵相同。

表示法

项	说明
yi	第 i 行的响应值
	第 i 行的估计均值响应
V(·)	下表列出的方差函数
g(·)	链接函数
V '(·)	方差函数的一阶导数
g'(·)	链接函数的一阶导数
g''(·)	链接函数的二阶导数

方差函数取决于模型：

有关详细信息，请参见 [1] 和 [2]。

[1] A. Agresti (1990)。Categorical Data Analysis（类别数据分析）。John Wiley & Sons, Inc.

[2] P. McCullagh 和 J.A. Nelder (1992)。Generalized Linear Model（广义线性模型）。Chapman & Hall。