分析因子设计中方差分析的方法和公式

平方距离和。所给出的公式适用于全因子、双因子（其中包含因子 A 和 B）模型。这些公式可以扩展为具有两个以上因子的模型。有关详细信息，请参见 Montgomery¹。

SS 合计是模型中的总变异。SS (A) 和 SS (B) 是估计的因子水平均值（在总体均值周围）的平方差和。SS 误差是残差平方和。它也称为处理内误差。计算如下：

如果模型包含仿行，则 SS 纯误差是：

对于除全因子、双因子模型外的情况，您可以具有其他平方和。如果您拟合简化的模型，则 SS 失拟是：

如果模型包括中心点，则 SS 弯曲是：

在裂区设计中，整区和子区的误差变异的平方和是：

1. D.C. Montgomery (1991)。Design and Analysis of Experiments（试验的设计和分析），第三版，John Wiley & Sons。

表示法

项	说明
a	因子 A 中的水平数
b	因子 B 中的水平数
n	仿行总数
	因子 A 的第 i 个水平的均值
	所有观测值的总体均值
	因子 B 的第 j 个水平的均值
	分别位于因子 A 的第 i 个水平和因子 B 的第 j 个水平以及第 k 个仿行的观测值
	因子 A 的第 i 个水平以及因子 B 的第 j 个水平的均值
	中心点的平均响应
	因子点的平均响应
nF	因子点数

Minitab 将方差的 SS 回归或处理分量分解为每个因子的连续平方和。连续平方和取决于将因子或预测变量输入到模型中的顺序。在指定以前输入的因子的情况下，连续平方和是 SS 回归中唯一由因子解释的部分。

例如，如果模型有三个因子或预测变量 X1、X2 和 X3，在 X1 已存在于模型中的给定条件下，X2 的连续平方和会显示 X2 解释的其余变异的量。要获得不同的因子序列，请重复分析并以不同的顺序输入因子。

调整的平方和并不取决于项输入到模型中的顺序。无论项输入到模型中的顺序如何，在模型中指定所有其他项的情况下，调整的平方和都是由项解释的变异量。

例如，如果模型有三个因子 X1、X2 和 X3，在 X1 和 X3 的项也已经位于模型中的情况下，X2 的调整的平方和显示由 X2 的项解释的其余变异量。

三种因子的调整的平方和的计算公式如下：

• SSR(X3 | X1, X2) = SSE (X1, X2) - SSE (X1, X2, X3) 或
• SSR(X3 | X1, X2) = SSR (X1, X2, X3) - SSR (X1, X2)

其中，在模型中给定 X1 和 X2 的情况下，SSR(X3 | X1, X2) 是 X3 的调整的平方和。

• SSR(X2, X3 | X1) = SSE (X1) - SSE (X1, X2, X3) 或
• SSR(X2, X3 | X1) = SSR (X1, X2, X3) - SSR (X1)

其中，在模型中给定 X1 的情况下，SSR(X2, X3 | X1) 是 X2 和 X3 的调整的平方和。

如果模型 ¹ 中有三个以上的因子，则可以扩展这些公式。

1. J. Neter、W. Wasserman 和 M.H. Kutner (1985)。Applied Linear Statistical Models（应用线性统计模型），第二版。Irwin, Inc.。

对于包含因子 A 和 B 及区组变量的全因子设计，与每个平方和相关联的自由度数目是：

对于因子间的交互作用，乘以因子中项的自由度。例如，如果因子是 A 和 B，则交互作用 AB 具有以下自由度：

要查找某一类项的自由度，请将这些项的自由度求和。例如，如果因子是 A 和 B，则模型中的主效应具有以下自由度：

对于具有中心点的双水平设计，弯曲自由度为 1。

一种用于确定交互作用和主效应是否显著的检验。用于模型项的公式是：

检验的自由度为：

• 分子 = 项自由度
• 分母 = 误差自由度

较大的 F 值支持否定没有非显著效应的原假设。

对于平衡裂区设计，针对难以改变的因子的 F 统计量对分母中的整区误差使用 MS。对于其他裂区设计，Minitab 使用 WP 误差和 SP 误差的线性组合来构建基于预期均方的分母。