方差分析模型中的非满秩和满秩

如果每个因子水平组合的观测值个数足以估计模型中包括的所有项，则线性模型是满秩的。如果数据中没有用于拟合模型的足够的观测值，则 Minitab 会删除项直到模型足够小，可以拟合。可能存在其他模型能够更好地拟合数据的情况。

假设您具有双因子 GLM 模型。您尝试使用项 A B 和 A*B 来拟合模型，并收到有关“非满秩”的错误。这表明每个因子水平组合中没有足够的观测值。请尝试删除交互作用项 (A*B)。

非满秩是使 Minitab 无法执行矩阵计算的一种情况。例如，请考虑下面含有两个预测变量和一个响应变量的数据集。

X1 和 X2 是预测变量，Y 是响应变量。Minitab 中的回归分析使用最小二乘法来计算估计系数 b₀、b₁、b₂，线性方程如下：

Y = b₀ + b₁X₁ + b₂X₂

最小二乘过程相当于解矩阵方程集

b = (X^TX)^-1X^TY

其中 b 是包含估计的模型系数的列向量，X 是一种矩阵，其第一列包含用于估计截距/常量的值的列，且其余列为预测变量数据 (X1, X2,…) 列，Y 是响应数据的列向量。对于前面的数据集，矩阵为：

Minitab 使用 QR 分解来计算参数估计值（b₀、b₁ 和 b₂）和参数标准差。计算基于 (X^TX) 矩阵的特征值。如果 (X^TX) 的部分特征值本质上为零，则方矩阵 (X^TX) 为单数或接近于单数，并且 Minitab 不会进行计算。

如果任何 X 变量列可以写为其他 X 列的线性组合，则会发生非满秩。以下显示了两个示例，使用 C1、C2 和 C3 作为预测变量 (X)：

示例 1

示例 2

在第一个示例中，请注意 C1 + C2 = C3。

在第二个示例中，请注意 2*C1 = C2。

如果尝试使用这些预测变量执行回归（或方差分析），Minitab 将从模型中删除项，以便执行分析。

非满秩也会发生在存在类别数据的情况下：

示例 3

在此示例中，请注意，机器列与操作员列的形式几乎相同。如果您要对此数据集执行方差分析，Minitab 将从模型中删除项，以便执行分析。