概率分布 的方法和公式

对于闭区间 [0,1] 中的数字 p，随机变量 X 的累积分布函数 (ICDF) 确定（在可能的情况下）一个值 x（使 X≤x 的概率大于或等于 p）。

连续分布的 ICDF

ICDF 是与概率密度函数下的区域关联的值。ICDF 是累积分布函数 (CDF) 的反函数，累积分布函数是与某值相关联的区域。

对于所有连续分布，如果 0 < p < 1，则 ICDF 存在且唯一。

• 当概率密度函数 (PDF) 对整个实数行表示为正值（例如，正态 PDF）时，不会为 p = 0 或 p = 1 定义 ICDF。
• 当 PDF 对于大于某值的所有值表示为正值（例如卡方 PDF）时，将为 p =0 定义 ICDF，但不为 p =1 进行定义。
• 当 PDF 仅在某区间上才为正值时（例如，均匀 PDF），将为 p = 0 和 p = 1 定义 ICDF。
• 在未定义 ICDF 时，Minitab 会为结果返回一个缺失值 (*)。

离散分布的 ICDF

相比于连续分布，对应于离散分布的 ICDF 更复杂。例如，当使用 n = 5 且 p =..4 计算二项分布的 CDF 时，不存在使 CDF 为 ..5 的值 x。如果 x =1，CDF 为 ..3370。如果 x= 2，CDF 增大到 .6826。

当显示 ICDF 时（即，未存储结果），x 的两个值都将显示。当存储 ICDF 时，将存储两个值中较大的一个。

Beta 分布常用于表示具有自然上限和下限的过程。

公式

概率密度函数 (PDF) 是：

表示法

当 a = 0 时，b = 1，

PDF 为：

二项分布用于表示在 n 个独立试验中发生的事件数。可能值包括从零到 n 的整数。

公式

均值 = np

方差 = np(1 – p)

概率质量函数 (PMF) 是：

其中， 等于 .

一般情况，可以使用 k! 作为

表示法

Cauchy 分布沿零对称，但其尾部接近零的速度要比正态分布慢。

公式

概率密度函数 (PDF) 是：

表示法

如果 X 具有标准正态分布，X² 具有一个自由度为 1 的卡方分布，则允许它作为一个常用采样分布。

n 个独立 X² 变量（其中 X 具有标准正态分布）的总和具有卡方分布（自由度为 n）。卡方分布的形状取决于自由度的数量。

公式

概率密度函数 (PDF) 是：

均值 = v

方差 = 2v

表示法

离散分布是您自己定义的一种分布。例如，假设您想了解一个由三个值 -1、0、1 组成的分布，其概率分别是 0.2、0.5 和 0.3。如果向工作表的列中输入值，则可以使用这些列来生成随机数据或计算概率。

可使用指数分布对故障间的间隔时间进行建模（例如，当单元具有恒定、瞬时的故障率（风险函数））。指数分布是 Weibull 分布和 Gamma 分布的一种特殊情况。

公式

概率密度函数 (PDF) 是：

累积分布函数 (CDF) 是：

均值 = θ + λ

方差 = θ²

表示法

F 分布也称为方差比值分布，具有两种类型的自由度：分子自由度和分母自由度。它是两个独立的带有卡方分布的随机变量（每个变量被其自由度所除）的比值的分布。

公式

概率密度函数 (PDF) 是：

表示法

Gamma 分布通常用于对正向偏斜的数据建模。

公式

概率密度函数 (PDF) 是：

均值 = ab + θ

方差 = ab²

表示法

离散几何分布适用于一系列独立 Bernoulli 试验（其中包含概率为 p 的相关事件）。

公式

如果随机变量 X 是生成一个事件（具有概率 p）所需执行的试验总次数，则 X 概率质量函数 (PMF) 由下式给出：

并且 X 显示以下属性：

如果随机变量 Y 是在观测的第一个事件（具有概率 p）之前发生的非事件数，则 Y 的概率质量函数 (PMF) 由下式给出：

并且 Y 显示以下属性：

表示法

在不进行替换的情况下，超几何分布可用于从较小的总体中提取的样本。例如，您有 N 台电视机，其中 N₁ 是优良品（成功），N₂ 是缺陷品（失败）。如果从 N 中随机采样 n 台电视机（不进行替换），您可以发现在 n 台电视机中概率 x 即为良好状态。

公式

概率质量函数 (PMF) 是：

表示法

整数分布是一组整数上的离散均匀分布。每个整数具有相同的出现概率。

正态分布（也称为高斯分布）是最常使用的统计分布，因为此分布可对许多物理、生物和社会过程进行建模。

公式

概率密度函数 (PDF) 是：

累积分布函数 (CDF) 是：

均值 = μ

方差 = σ ²

标准差 = σ

表示法

当与正态分布相比，分布的波峰更为尖锐时，将使用 Laplace 分布。

公式

概率密度函数 (PDF) 是：

均值 = a

方差 = 2b²

表示法

可使用最大极值分布对分布中的最大值进行建模。如果您具有一系列指数分布，并且 X_(n) 是第 n 个分布中的最大值，则 X_(n) – ln(n) 在分布中收敛于最大极值分布。因此，对于很大的 n 值，最大极值分布是 X_(n) – ln(n) 的分布的充分近似。

公式

概率密度函数 (PDF) 是：

累积分布函数 (CDF) 是：

均值 = μ + γσ

方差 = π ² σ ² / 6

表示法

一种对称的连续分布，与正态分布类似，但尾部更厚。

公式

概率密度函数 (PDF) 是：

累积分布函数 (CDF) 是：

均值 = μ

表示法

如果 Y = log (x – λ) 具有 logistic 分布，则变量 x 具有对数 Logistic 分布（阈值为 λ）。

公式

概率密度函数 (PDF) 是：

累积分布函数 (CDF) 是：

当 σ < 1：

当 σ < 1/2：

表示法

如果 log(x – λ) 具有正态分布，则变量 x 具有对数正态分布。

公式

概率密度函数 (PDF) 是：

累积分布函数 (CDF) 是：

表示法

离散负二项分布适用于一系列独立 Bernoulli 试验（其中包含概率为 p 的事件）。

公式

如果随机变量 X 是生成 r 个事件（均具有概率 p）所需执行的试验次数，则 X 概率质量函数 (PMF) 由下式给出：

并且 X 显示以下属性：

如果随机变量 Y 是在观测 r 个事件之前发生的非事件数（其中每个具有概率 p），则 Y 的概率质量函数 (PMF) 由下式给出：

并且 Y 显示以下属性：

表示法

Poisson 分布是可对基于恒定发生率的事件数量建模的离散分布。当独立试验数量大并且成功概率小时，Poisson 分布可用作二项式的近似。

公式

概率质量函数 (PMF) 是：

均值 = λ

方差 = λ

表示法

可使用最小极值分布对分布中的最小值进行建模。如果 Y 服从 Weibull 分布，则 log(Y) 服从最小极值分布。

公式

概率密度函数 (PDF) 是：

累积分布函数 (CDF) 是：

表示法

公式

概率密度函数 (PDF) 是：

均值 = 0（当 ν > 0 时）

表示法

三角分布的 PDF 具有一个三角形状。

公式

概率密度函数 (PDF) 如下所示：

表示法

均匀分布的特征是数据在一个区间中均匀地分布，最小值为 a，最大值为 b。

公式

概率密度函数 (PDF) 是：

表示法

Weibull 分布可对产品失效时间进行建模。

公式

概率密度函数 (PDF) 是：

累积分布函数 (CDF) 是：

表示法