图形化汇总 的方法和公式

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Anderson-Darling 统计量 (A2)

A2 度量拟合线(基于所选分布)与非参数步阶函数(基于标绘点)之间的面积。统计量是在分布的尾部施加更大权重的平方距离。如果 Anderson-Darling 值较小,则表明分布与数据拟合得更好。

Anderson-Darling 正态性检验的定义如下:

H0:数据服从正态分布

H1:数据不服从正态分布

公式

表示法

说明
F(Yi),即标准正态分布的累积分布函数
Yi排序数据

Anderson-Darling 正态性检验的 p 值

P 值是用来报告 Anderson-Darling 正态性检验结果的定量度量。如果 p 值较小,则表示原假设为假。

如果您知道 A 2,则可以计算 p 值。

根据 A'2,将使用以下等式计算 p:
  • 如果 13 > A'2 > 0.600,则 p = exp(1.2937 - 5.709 * A'2 + 0.0186(A'2)2)
  • 如果 0.600 > A'2 > 0.340,则 p = exp(0.9177 - 4.279 * A'2 – 1.38(A'2)2)
  • 如果 0.340 > A'2 > 0.200,则 p = 1 – exp(–8.318 + 42.796 * A'2 – 59.938(A'2)2)
  • 如果 A'2 < 0.200,则 p = 1 – exp(–13.436 + 101.14 * A'2 – 223.73(A'2)2)

N 非缺失 (N)

样本中非缺失值的个数。

标准差 (StDev)

样本标准差用来度量数据的散布。它等于样本方差的平方根。

公式

如果列中包含 x 1, x 2,..., x N,且均值为 ,则样本的标准差为:

表示法

说明
x i i 个观测值
观测值的均值
N非缺失观测值个数

方差

方差度量数据围绕其均值的分散程度。方差等于标准差的平方。

公式

表示法

说明
xii 个观测值
观测值的均值
N非缺失观测值个数

偏度

偏度用来度量不对称度。负值表示向左偏斜,正值表示向右偏斜。零值不一定表示对称。

公式

表示法

说明
xi i 个观测值
观测值的均值
N非缺失观测值个数
s 样本的标准差

峰度

峰度可用来度量某个分布与正态分布的差异程度。正值通常表示,相比于正态分布,该分布的波峰更陡。负值表示,相比于正态分布,该分布的波峰更平坦。

公式

表示法

说明
xi i 个观测值
观测值的均值
N非缺失观测值个数
s 样本的标准差

均值

一批数字的中心的常用度量。均值又称为平均数。均值是由所有观测值之和除以(非缺失)观测值个数得来的。

公式

表示法

说明
xii 个观测值
N非缺失观测值个数

最小值

数据集中的最小值。

最大值

数据集中的最大值。

第一个四分位数 (Q1)

25% 的样本观测值小于或等于第一个四分位数的值。因此,第一个四分位数又称为第 25 个百分位数。

公式

表示法

说明
w 的整数截断值
w
zw 的已被截断的分数分量
xj样本数据列表中的第 j观测值,按从小到大的顺序排列
注意

当 w 是整数时,y = w、z = 0、Q1 = xy

中位数

样本中位数位于数据的中间:至少有一半的观测值小于或等于它,至少有一半的观测值大于或等于它。

假设您有一个包含 N 个值的列。要计算中位数,首先按照从小到大的顺序对数据值进行排序。如果 N 为奇数,则样本中位数是位于中间的值。如果 N 为偶数,则样本中位数是两个中间值的平均数。

例如,当 N = 5 且您有数据 x1、x2、x3、x4 和 x5 时,中位数 = x3

当 N = 6 且您有排序数据 x1、x2、x3、x4、x5 和 x6 时:

其中 x3 和 x4 是第三个和第四个观测值。

第三个四分位数 (Q3)

75% 的样本观测值小于或等于第三个四分位数的值。因此,第三个四分位数又称为第 75 个百分位数。

公式

表示法

说明
w 的截断值
w
zw 的已被截断的分数分量
xj样本数据列表中的第 j 个观测值,按从小到大的顺序排列
注意

当 w 是整数时,y = w、z = 0、Q3 = xy

均值的置信区间

公式

表示法

说明
均值
s 样本的标准差
N非缺失数字
t N, α 自由度为 N – 1 的 t 分布在 1 – α / 2 处的逆累积概率;α = 1 – 置信水平/100

中位数的置信区间

Minitab 使用非线性差值来计算实际中位数的置信区间。1此方法是适用于众多对称分布(包括正态分布、Cauchy 分布和统一分布)的绝佳近似。非对称分布的示例显示足够多的结果,这些结果始终比线性差值结果更准确。

标准差的置信区间

Minitab 为总体标准差 σ 计算 (1 – α) 100% 置信区间。置信区间对于数据服从正态分布这一假设非常敏感。即使稍微偏离正态性,也会生成会产生误解的置信区间。

公式

置信区间:

表示法

说明
s标准差
N非缺失数字
χ2N, αχ2 的逆累积概率,在 1 – α / 2 下自由度为 Nα = 1 – 置信水平 / 100
1 T.P. Hettmansperger 和 S.J. Sheather (1986)。“Confidence Intervals Based on Interpolated Order Statistics”(基于差值顺序统计量的置信区间),Statistics and Probability Letters(统计和概率通讯),第 4 期,第 75 到 79 页。
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